UPDATE 2020-10-23 修改了部分错误和表述不当的内容与挂掉的\rm LATEX 并感谢评论区中提出改进意见的同学。

0、瞎说&前言

说到尺规作图，相信大家印象最深的就是高斯十九岁证明正十七边形可尺规作图。高斯的故事激励着我们。最近对尺规作图有所研究，和大家分享一下。

本博客使用洛谷图床，\rm GeoGebra绘图软件（强烈推荐，跟几何画板差不多，还免费！）

1、尺规作图

1、定义及要求

尺规作图，即在有限次数内，用没有刻度的直尺和圆规作图。

1、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；

2、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。

2、尺规作图的基本操作

①过已知的两点作过这两点的直线；

②以已知的点为圆心，以已知两点的距离为半径作圆；

③取两条直线交点

④取直线和圆的交点

⑤取圆和圆的交点

3、举例

接下来举的几个例子都是初中学习阶段会遇到的经典题目。

1、作一条线段的中垂线

1、步骤

Step 1： 分别以A,B为圆心，以大于\frac{1}{2} AB的长度为半径作弧，两弧相交于C,D

Step 2：连结C,D，CD即为线段AB的中垂线

2、简要证明

设CD与AB的交点为O

连结AC,BC,AD,BD，易证\triangle ACD\cong\triangle BCD(SSS)

\therefore AC=BC ,\angle ACD = \angle BCD \Rightarrow \triangle ACO\cong\triangle BCO(SAS) \therefore \angle AOC=90\degree ,AO=CO$及$CD$垂直平分$AB

2、作已知角的平分线

1、步骤

Step 1：以A为圆心，以任意长为半径作弧，交AC于D,AB于E

Step 2：分别以D,E为圆心，以大于\frac{1}{2}DE的 长为半径作弧，两弧相交于F，连结AF,AF即为所求作的图形

2、简要证明

连结FD,EF,易证\triangle AFD \cong \triangle AFE(SSS)

\Rightarrow \angle CAF = \angle BAF$即$AF$平分$\angle CAB

4、尺规能做出怎样的图呢？

我们容易证明尺规作图对线段只能进行加，减，乘，除，以及开平方的操作。

这里我只能简要的说明一下（可能不是很严谨，正规的可能要用的群论，域论什么的），具体的还需查找一些资料。

回归到前面讲的（1.2 尺规作图的基本操作），我们用解析几何的眼光来看待尺规作图和这些基本操作。

第①②点都是在列出方程，而第③④⑤点，都是在取交点，在坐标系中其实就是在求解方程。

而由于直线的方程是一次的，而圆的方程是二次的，所以通过取交点所解出的方程的根，都是由有理数加，减，乘，除，开平方（可以不断开平方）构成的。

综上所述，尺规作图只能对线段进行四则运算和开平方。或者看下图。

5、如何进行加减乘除和开平方呢？

为了节省篇幅（后面有难的（其实因为懒）），一些同理的将会省略。

1、加

如图，已知线段a和线段b，求作一条线段c，使得c=a+b

作法：

①作射线ON

②以O为圆心，以a为半径作弧，交ON于P

③以P为圆心，以b为半径作弧，交ON于Q，线段OQ即为所求作的图形

2、减

与加法类似，不再阐述

3、乘

已知线段a,b和另一条长度为1的线段,求作一条线段，使得这条线段数值上等于ab

简要说明步骤（省略部分简单的作图环节）：

①作角\angle MON

②在ON上截取OP=a，在OM上截取OH=1,HI=b

③连结HP，*过I作IB//HP交ON于B，线段PB即为所求。

简略证明：

设PB=x;

易证\triangle OHP \sim \triangle OIB

\Rightarrow \frac{OP}{OH}=\frac{OB}{OI}$即$\frac{a}{1}=\frac{a+x}{1+b} \Rightarrow x=ab

*平行线作法：

①在直线l上任取一点B，连接AB并延长；

②以AB的延长线上任一点C为圆心，CB为半径作圆，交直线l于D；

③连接CD并延长；

④以C为圆心，CA为半径作圆，交CD的延长线于E；

⑤连接AE。直线AE即为所求。

4、除

与乘法同理

5、开平方

如图，已知线段a，线段b=1，求作一条线段，使得它的长度为\sqrt a

由于美观，省略了一些作图痕迹。

简要步骤（省略部分简单的作图过程）：

①作射线AX，在AX上截取AC=a,CB=b

②作AB的中垂线（作法见前文），交AB于O

③以O为圆心，以AO为半径作圆

④*过C作AB的垂线交⊙O于P，线段CP即为所求作的图形.

简要证明：

连结AP,BP

$\therefore \angle APB =90 \degree \Rightarrow \triangle APC \sim \triangle PCB \therefore \frac{AC}{PC}=\frac{PC}{BC}$即$PC^2=AC\cdot BC=1\times a=a \therefore PC=\sqrt a

*垂线的作法：

①以C为圆心，以一定的长度为半径作圆，交AB于D,E

②分别以D,E为圆心，以DE为半径，两圆交于异于点C的一点F

③连结CF，CF即为所求作的图形

5、高斯的结论

这边说明一下，下面要说的这个结论看起来美观，实际上证明过程十分复杂，涉及到抽象代数理论的二次域扩展。这里就不证明了，感兴趣的同学可以自己上网进行查找。

高斯曾研究过正n边形可尺规作图的条件，得出了下面这个结论（我不会证明）：

n=2^{k}\cdot p_1 \cdot p_2 \cdot\cdot \cdot p_m(k \in Z,p$为费马质数，$n$为边数$)

费马质数目前找到5个，分别是3,5,17,257,65537

关于257和65537，据说有人还专门研究过他们怎么尺规作图

2、正十七边形正五边形的可尺规作图的证明

终于可以讲些有趣的了QAQ

由于正十七边形的计算实在复杂，不太友好，这里只讲正五边形。

首先有一种比较简单的证明方法，就是1.5 高斯的结论中提到的式子。

当n=5时 5=2^0\times 5

但是由于这个式子来不明说不清，我们还是换一种通俗易懂（~~真的吗~~）的方法吧。 ### 0、前铺知识 一个简单的定理 简要说明（证明）： 根据欧拉公式$e^{i\alpha }=\cos \alpha +i \sin \alpha$($i$为虚数单位） 所以两个复数相乘有$z_1\cdot z_2=(r_1 e^{i\alpha})\cdot (r_2 e^{i\beta}) \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=r_1 r_2e^{i(\alpha + \beta)}

其中,r为复数的模。

通俗地讲，就是模相乘，辐角相加。

1、正片开始

我们要作圆内接正五边形，首先我们在笛卡尔坐标系中画一个单位圆（即边长为1的圆），设我们要作的正五边形为ABCDE，把这个平面看做复数平面。

作BB'垂直OA于B'，我们只要求出OB',就可以知道B,从而画出正五边形。

而OB'=\cos \angle BOB' \cdot OB=\cos 72\degree，也就是说只要我们证明\cos 72\degree由有理数加减乘除开平方组成就行了。

我们把这五个复平面上的点看做\epsilon_0,\epsilon_1...\epsilon_5我们有\epsilon_k=\cos \theta_k+i\sin\theta_k

根据之前的定理，我们得到\epsilon_k=\epsilon_1^k（复数相乘，模相乘，辐角相加，而这里的模都是1，辐角变成原来的k倍,就是\epsilon_k）

所以\epsilon_5=\epsilon_0=1

我们还可以得到\epsilon_0+\epsilon_1+\epsilon_2+\epsilon_3+\epsilon_4=0（类似于向量，由于他们是对称分布的，所以相加得0）

上式边形得\epsilon_1+\epsilon_2+\epsilon_3+\epsilon_4=-\epsilon_0=-1

（下面感受一下高斯精彩的思维吧！）

令\epsilon_1+\epsilon_4=x_1,\epsilon_2+\epsilon_3=x_2

则x_1+x_2=-1

x_1x_2=\epsilon_1\epsilon_2+\epsilon_1\epsilon_3+\epsilon_2\epsilon_4+\epsilon_3\epsilon_4

根据我们刚刚得到的\epsilon_k=\epsilon_1^k和\epsilon_5=\epsilon_0，有x_1x_2=\epsilon_3+\epsilon_4+\epsilon_6+\epsilon_7=\epsilon_1+\epsilon_2+\epsilon_3+\epsilon_4=-1

于是我们只要解方程

\left\{ \begin{aligned} x_1x_2 & = & -1 \\ x_1+x_2 & = & -1 \end{aligned} \right.

解得x_{1,2}=\frac{\pm\sqrt 5 -1}{2}

又\because x_1=\epsilon_1+\epsilon_4=\cos 72\degree+i\sin72\degree+\cos72\degree-i\sin72\degree=2\cos72\degree(看图）

\therefore \cos 72 \degree=\frac{\sqrt 5 -1}{4}

可以发现，这个式子只由加减乘除和开平方组成，可以尺规作图。

3、古希腊三大作图不能问题

有了上述的铺垫，这些问题能够得到很好的解决

1、立方倍积

希腊提洛斯岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。”

居民们绞尽脑汁去没有办法，连当时的著名学者柏拉图都束手无策。

后来这个问题被证实是不行的。

假设原本的正方体的边长为1,现在要通过尺规作图做出一条边长为\sqrt [3]{2}的立方体。

根据我们前面的理论\sqrt[3]{2}无法通过有理数加减乘除开平方算出，所以这个问题无法尺规作图。

也许上面的说明过于草率，具体可查看这篇文章。

立方倍积——离开了尺规的作图该何去何从

2、三等分任意角

即尺规作图将任意一个角三等分。

假设我们已知的角（\angle BAC）=\alpha,那就相当于我们知道\cos \alpha(即AD)

只要我们作出\cos \frac{\alpha}{3}(即AF)，原命题就成立了

根据倍角公式\cos(3\times \frac{\alpha}{3})=4\cos^3\frac{\alpha}{3}-3\cos\frac{\alpha}{3}

为了方便书写，设x=\cos\frac{\alpha}{3}

所以有\cos \alpha=4x^3-3x

这个式子x的取值由\cos \alpha决定，若\alpha=90\degree,则x=\frac{\sqrt 3}{2},可尺规作图

但\alpha= 60时，x就无法用有理数加减乘除开平方算出来，所以不行。

这个命题也被否认了。

3、化圆为方问题

已知一个面积为S的圆，求作一个正方形，使它的面积为S

设原来圆的半径为r,要作的正方形的边长为a.

则\pi r^2=a^2

\Rightarrow a=r \sqrt \pi

*由于\pi是超越数（即无法用不能作为有理数方程的根的数），自然不能有有理数加减乘除开方得到，所以无法尺规作图。

*\pi是超越数的证明比较复杂，有兴趣的可以自己搜索。

4、后记

这篇只讲到了尺规作图的皮毛，还有些更深入的（例如伽罗瓦的群论，域论，本来文章里的很多证明都要用到这些，但是由于难度过高，不太友好便没写了）文章中没有提及，欢迎大家自己搜索。

另外，受到@libra9z的建议，关于单规作图、锈规作图，还有许多有趣之处。如果有时间，我还会和大家分享分享。

本人时间仓促，学历尚浅，若有不足或错误之处，欢迎大佬指正。

（单规作图和锈规作图以及单尺作图应该不会更了，初三压力挺大的，学习去了！）

关于尺规作图的文章

立方倍积——离开了尺规的作图该何去何从

代码敲累了？来玩欧式几何