Euler Path

欧拉路径, 即为一个有向图中, 能遍历整个图的所有边, 并且每条边只经过一次的路径.

因为看到二gou子学习了此内容, 所以我的博客才能在 NOIP 前一周内出现一篇学习笔记.

解存在的判定

不证自明地, 要想一条路径遍历所有边, 必须保证将有向边看成无向边后, 图是连通的.

就是除了起点和终点, 每个点的入度和出度都应该相等, 因为这些点每进入一次, 就要离开一次, 每次从不同的来边进入, 也从不同的出边离开.

如果起点和终点不同, 那么起点的出度比入度大 1, 终点的出度比入度大 1.

如果起点和终点相同, 那么所有点的出度应该等于入度.

求解

如果判定有解, 那么考虑构造一组解.

如果所有点出度等于入度, 随意找个点做起点, 新建一个点作为终点, 从起点往终点连一条边, 这样就可以正常构造了, 而这条边一定是路径最后一条边, 因为终点没有出度, 走到这个点就走到头了. 因此构造完删掉这条边即可.

如果不是, 那么选择那个出度比入度大 1 的点作为起点.

从起点开始 DFS, 接下来会分别遍历所有出边, 每条出边会有两个结果, 第一个是回到这个点, 第二个是不会走回来, 走到死路返回了.

对于最终回到这个点的出边, 它会消耗一条入边和一条出边. 而不回来的边, 它会消耗一条出边, 所以显然, 一定是最后走这条出边.

所以我们只要维护一个栈, 把死路的边从末端开始都堆进去, 倒序一个一个出栈便是欧拉路的最后一段.

当删掉一段死路之后, 这段死路的起点的出度一定会比入度多减少 1, 原本出度等于入度, 删除死路之后, 出度少 1, 这个点变成新的终点, 变成新的死路末端.

代码实现

因为和一般 DFS 不同, 这里的 DFS 不是遇到已经遍历过的节点就跳过, 而是根据边是否经过来遍历, 所以一个点可能在调用栈中出现多次, 所以写法也略有不同.

朴素的做法是每次进入一个新点, 把对应入边打标记, 下次不能再走了. 当一个点所有出边都打上标记, 并且所有边打标记进入别的点后都返回了, 则找到了死路, 便将这个点加入栈中.

但是发现如果按顺序枚举出边, 一定不存在排在前面的出边未经过, 而排在后面的边已经过的情况, 所以考虑当前弧优化, 每个点记录当前有多少出边已经使用了, 每次按顺序使用一个即可.

unsigned m, n;
unsigned A, B, C, D, t;
unsigned Cnt(0), Tmp(0), ATop(0);
unsigned Ans[200005], Top(0);
struct Node;
struct Edge {
  Node* To;
}E[200005];
inline char Cmp(Edge* x, Edge* y) {return x->To < y->To;}
struct Node {
  vector <Edge*> To; 
  unsigned Last, Idg, Odg;
}N[100005], *S, *T;
inline void DFS(Node* x) {
  for (;x->Last < x->To.size();) DFS(x->To[(x->Last)++]->To);
  Ans[Top--] = x - N;
}
signed main() {
  n = RD(), Top = (m = RD() + 1);
  for (unsigned i(1); i < m; ++i) {
    ++(N[A = RD()].Odg), ++(N[B = RD()].Idg);
    E[i].To = N + B;
    N[A].To.push_back(E + i);
  }
  for (Node* i(N + n); i > N; --i) {
    sort(i->To.begin(), i->To.end(), Cmp);
    if(i->Idg == i->Odg) continue;
    if(i->Idg == (i->Odg + 1)) {
      if(T){printf("No\n"); return 0;}
      T = i; continue;
    }
    if((i->Idg + 1) == i->Odg) {
      if(S){printf("No\n"); return 0;}
      S = i; continue;
    }
    printf("No\n"); return 0;
  }
  if(!S) S = N + 1, T = N + n + 1, E[m + 1].To = T, S->To.push_back(E + m + 1);
  DFS(S);
  if(Ans[0]) for (unsigned i(0); i < m; ++i) printf("%u ", Ans[i]);
  else for (unsigned i(1); i <= m; ++i) printf("%u ", Ans[i]);
  putchar(0x0A);
  return Wild_Donkey;
}