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公式
Cat_{n}=\frac{1}{n+1}C_{2n}^{n}=\frac{(2n)!}{(n+1)!n!}
Cat_{n}=\frac{4n+2}{n+1}Cat_{n-1}
Cat_{n}=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}
性质
所有的奇卡塔兰数C_{n}都满足n=2^k-1。
所有其他的卡塔兰数都是偶数
实际问题的解决
说了这么多，那么卡特兰数在实际问题中的应用还是很广泛的：
经典问题：
一
Dyck word
给出一个n，要求一个长度为2n的01序列，使得序列的任意前缀中1的个数不少于0的个数，
以下为长度为6的序列:
111000 101100 101010 110010 110100
证明：
令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位，含n个1，n个0的二进制数，
满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数
显然含n个1，n个0的2n位二进制数共有C_{2n}^{n}个，下面考虑不满足要求的数目.
考虑一个含n个1，n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），
则后面的01排列中必有n-m个1和n-m-1个0
将2m+2及其以后的部分0变成1，1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数
反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）
可得：
Cat_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1}=\frac{1}{n+1}C_{2n}^{n}
二
将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cat_n表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
三
#### 四
$Cat_n$表示所有不同构的含$n$个分枝结点的满二叉树的个数
（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树）
#### 五
$Cat_n$表示所有在$n × n$格点中不越过对角线的单调路径的个数
一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右
计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数（同问题1）：
$X$代表“向右”，$Y$代表“向上”
#### 六
$Cat_n$表示通过连结顶点而将$n + 2$边的凸多边形分成三角形的方法个数
下图中为$n = 4$的情况：
#### 七
$Cat_n$表示对{$1, …, n$}依序进出栈的置换个数
一个置换w是依序进出栈的当$S(w) = (1, …, n)$,
其中$S(w)$递归定义如下：令$w = unv$，其中$n$为$w$的最大元素，$u$和$v$为更短的数列
再令$S(w)$ =$S(u)S(v)n$，其中S为所有含一个元素的数列的单位元。
#### 八
$Cat_n$表示集合{$1, …, n$}的不交叉划分的个数. 其中每个段落的长度为$2
九
下图为 $n = 4$的情况:
## 应用总结
**（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了）**
### 1.括号化问题
矩阵链乘： $P=a1×a2×a3×……×an$，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？($h(n)$种)
### 2.出栈次序问题。
**一个栈(无穷大)的进栈序列为$1,2,3,..n$,有多少个不同的出栈序列? **
类似：
(1)有$2n$个人排成一行进入剧场。入场费$5$元。其中只有$n$个人有一张$5$元钞票，另外$n$人只有$10$元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有$10$元的人买票，售票处就有$5$元的钞票找零？(将持$5$元者到达视作将5元入栈，持$10$元者到达视作使栈中某$5$元出栈)
(2)在圆上选择$2n$个点,将这些点成对连接起来，使得所得到的$n$条线段不相交的方法数。
### 3.将多边行划分为三角形问题
**将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数? **
类似：一位大城市的律师在她住所以北$n$个街区和以东$n$个街区处工作。每天她走$2n$个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
类似：在圆上选择$2n$个点,将这些点成对连接起来使得所得到的$n$条线段不相交的方法数?
### 4.给顶节点组成二叉树的问题。
** 给定$N$个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？ **
先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是$h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) +…+ h(n-1)h(0)=h(n)$（能构成$h(N)$个）