update on 2024/10/14：修正了一些格式方面的问题，修了一个错别字（应该还有错别字），i 使用了正体 \mathrm i。

qwq

数轴

这是数轴（的一部分）：

...  -2  -1  0   1   2  ...
 |   |   |   |   |   |   |
 +---+---+---+---+---+---+

这也是数轴的一部分：

... 114511 114512 114513 114514 114515 114516 ...
 |    |      |      |      |      |      |     |
 +----+------+------+------++-----+------+-----+
                            |
               114514.1919810 大概在这里

可见，数轴是无限长的，你可以在上面找到所有的实数，比如 114514,1919810,114514.1919810（114514.1919810 在 114514 和 114515 之间，靠近 114514）。

平方

等等，小学不是学过平方吗？

回顾一下，a 的平方，就是 a^2，其实就是 a \times a。

这里有一个知识点：所有实数（小学生可理解为所有的数字）的平方都是非负数。

为什么呢？负负得正，如果没学过，就是：

求 a^2：

如果 a \ge 0：则两个非负数相乘，不可能是负数（溢出请忽略）。

如果 a < 0：a 可表示为 -b，其中 b 是某个正数，我们不关心是几，知道是个正数就好。-b 就是 -1 \times b。

& a^2 \\ = & (-1 \times b)^2 \\ = & (-1 \times b) \times (-1 \times b) \\ = & (-1 \times -1) \times (b \times b) \\ = & 1 \times (b \times b) \\ = & b \times b \\ = & b^2 \end{aligned}

显然，由于 b 是个正数，则 b^2 必然是个正数，则 a^2 也必然是个正数（a^2 和 b^2 是一样的嘛）。

平方根

       平方树
         |
         |
         |
        /|\
       / | \
      /  |  \
     /|\/|\/|\
  平方的根（平方根）

开个玩笑。

我们现在有一个 可爱的 非负 数 a。

我们对它平方了一下，得到了 a^2，记为 b。

通过观察标题发现，$a$ 是 $b$ 的平方根。 $b$ 是 $a$ 的平方记作 $a=b^2$，$b$ 是 $a$ 的平方根记作 $b=\sqrt{a}$，还可以记作 $b=a^{0.5}$，不过第一种更常用。（注意到 $2 \times 0.5 = 1$，猜测立方根也可以记作 $b=a^{\frac{1}{3}}$，是正确的，但是我们这里不用。） 也就是说，$a=\sqrt{b}$。 我们又知道，$b=a^2$。 所以我们可以知道，$a=\sqrt{a^2}$。 这个规律对于所有的实数都成立。 **吗？** No。 观察力强的同学可以发现，~~你拥有了所有~~ 上面我加粗了一个词，**非负**。 ~~显然，我们知道，$\sout{1,145,141,919,810^2=1,311,350,016,506,132,470,436,100}$。~~ 上面一段废除，因为 $1,311,350,016,506,132,470,436,100$ 可能有一丢丢的大，对于基础薄弱的同学，状态不好时不能在 $10\mathrm{s}$ 内精准计算出来。 显然，我们知道，$4^2=16$。 所以，我们就能知道，$\sqrt{16}=4$。这都是很显然的。 但是，我们还能知道，$(-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16$。 所以，我们就能知道，$\sqrt{16}=-4$。 综上，$4=-4$。 我们可以继续推： $$ \begin{aligned} 4&=-4\\ 1&=-1\\ 2&=0\\ 0&=2\\ 0&=1\\ 0+1+1&=1+1+1\\ 1+1&=3 \end{aligned} $$ 情况不太妙，是不是？ 所以，我们需要从根本上解决这个问题。 $\sqrt{a^2}=a$ 仅仅对于非负数成立（$0$ 也成立）。 $\sqrt{a^2}$ 的真正名称是算术平方根。 而平方根，都有两个答案，它们互为相反数，一个是 $k$ 一个是 $-k$。 > note：以下我可能嘴瓢把算术平方根说成平方根，如果没有特殊说明请当成算术平方根。 ### 平方根的乘除性质。 有两条定理： 1. $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ ~~根号消失定理~~ 2. $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ ~~根号消失定理 $\sout{\times 2}$~~ 其实它们的原理都很简单： 第一种：首先 $a \times b = ab$，将 $a$ 变为 $\sqrt{a}$，$b$ 变为 $\sqrt{b}$，$ab$ 变为 $\sqrt{ab}$，就可以得到。（但是还是不要乱变为好，稍不小心就会 $1+1=3$。） 第二种：类似，相信读者可以自己证明。 ### 无理数危机 1. - Question：$\sqrt{4}=?

• Answer：2，显然 2^2=4
  2. • Question：\sqrt{2.25}=?
• Answer：1.5，稍加注意可得 1.5^2=2.25
  3. • Question：\sqrt{13,113,500,165.06132470436100}=?
• Answer：114,514.1919810，与上一题性质一样，Attention is all you need.
  4. • Question：\sqrt{2}=?
• Answer：\sqrt{2}。

最后一个问题，你不是来搞笑的？\sqrt{2}=\sqrt{2}。

其实，\sqrt{2} 你还真没办法完全精确地算出来，你随便给我个小数，甚至分数（别来 \dfrac{\sqrt{2}}{1} 之类的）我都能告诉你大了还是小了，比如 1.41421356237309504880168872420，1.41421356237309504880168872420^2 \approx 1.9999999999999999999999999999726，所以 1.41421356237309504880168872420 小了。又比如 1.41421356237309504880168872421^2 \approx 2.0000000000000000000000000000009（不是浮点误差），所以 1.41421356237309504880168872421 大了（虽然平时 1.414 完全够用）。如果你找到了一个有限小数，无限循环小数或分子分母均为整数的数，觉得它就是 \sqrt{2}，欢迎来告诉我。

综上，\sqrt{2} 无法被平常的方式所表示，那就让只能它是 \sqrt{2}，它在数轴上的位置也很好确定，就在 1 和 2 之间（也在我刚刚说的两个数之间）。

负数？

我们可以发现，任何实数的平方都是非负数。

那么如果出现了 \sqrt{-114514} 之类的数，怎么办呢？

我们发现，怎么找都找不到一个数，它的平方是 -114514。并且理论上来说有两个数的平方都是 114514！

难不成这是一个像 \dfrac{0}{\color{red}{0}} 一样的，无解问题？（声明一句，这个也不是无解，答案是 \infty。）

但是，政治家的智慧是无穷的：

既然我们找不到，那我们不妨定义一个？

于是我们定义 \sqrt{-1} 为 \mathrm i（之所以不定义 \sqrt{-114514} 为 \mathrm i，是因为 \sqrt{-114514} 就是 \sqrt{114514} \times \sqrt{-1}）。

这里 \mathrm i 也叫虚数单位。

note：其实教科书上的定义为 \mathrm i^2=-1，但是这样就有两个满足条件的 \mathrm i 了，所以我不是很喜欢。当然考试中问 \mathrm i 的定义不要听我的。

但是，\mathrm i 究竟是哪种数呢？

答案是：虚数。

与其说 \mathrm i 是虚数，不如说虚数都是由 \mathrm i 定义出来的。

所有虚数都可以表示为 b\mathrm i，其中 b 是某个实数，比如 114514.1919810。

那么，如果我们让虚数和实数相加，会发生什么呢？会出现 a+b\mathrm i，并且无法化简（除非 ab=0），这种数就叫做 复数。

现在知道 实数 的名称由来了吧，和虚数相对的数。

所以，\mathrm i 在数轴上该如何表示呢？

找不到啊！

于是某人 （我） 就提出了一个天才的想法：

一个数乘上 -1 就相当于把它在数轴上的位置逆时针旋转了 180^\circ，跑到了另一边。那么显而易见，乘两次 -1 就相当于旋转了两次 180^\circ，旋转了 360^\circ，相当于没旋转。

所以显而易见，由于 \mathrm i^2=-1，可得，一个数旋转两次 \mathrm i，就相当于旋转了一次 -1（抽象），就是旋转两次乘 \mathrm i 旋转的角度，相当于旋转一次 180^\circ。

所以说，旋转两次 \mathrm i，相当于旋转 180^\circ，显然，乘上 i 所旋转的角度就是 90^\circ。

tip: 说道旋转你就应该想到复数。在线性代数中，旋转矩阵的特征值（之一）就是 \mathrm i。

我们就这样知道了 \mathrm i 在数轴的哪里：在数轴的上空。

            |3i
            |2i
            |i
-4 -3 -2 -1 |0 1  2  3  4
------------+------------
            |-i
            |-2i
            |-3i

我们不妨再野蛮（？）一点（不太写的下了！放图片吧）。

很好理解，+1 相当于往右走一格，-1 相当于往左走一格，+\mathrm i 相当于往上走一格，-\mathrm i 相当于往下走一格。

但是这东西，还能叫数轴吗……

称其为 复平面 真是再好不过。既体现出上面有复数，又体现出这是一个平面。

短暂的休息 - 小小地总结

平方，就是一个数乘自己，一个实数的平方永远是非负数。

平方根，就是平方的逆运算。

虚数，就是负数的平方根，表示为 b\mathrm i。

虚数单位，就是 \mathrm i=\sqrt{-1}。

实数，就是没有 \mathrm i 的数（说了跟没说一样），表示为 a。

复数，就是 \texttt{实数} + \texttt{虚数}，表示为 a+b\mathrm i。

复平面，就是扩充后的数轴，原本数轴上只有实数，现在多了虚数乃至复数。

休息够了吗？\aleph_{114514} 则运算，启动！！！

复数运算

求模长

一个复数可以看成复平面上的一个点。

而这个复数的模长可以看成这个点到原点（0 点）的距离。

勾股定理可得，一个复数 a+b\mathrm i 的模长为 \sqrt{a^2+b^2}。

求幅角

一个复数不仅可以看做复平面上的一个点，还可以看做复平面上的一个向量（箭头），从原点指向它代表的点。

而幅角就是角度，比如 -1 的角度就是 180^\circ，\mathrm i 的角度就是 90^\circ。

显然，一个向量的幅角就是 \arctan{\dfrac{b}{a}}。

如果 a 为 0，此时看 b，如果 b 为正，则幅角为 90^\circ。如果 b 为负，则幅角为 -90^\circ。

所以

知道了一个复数的模长和幅角，就可以知道这个复数的值。就像你知道了向哪边走，走多远就可以知道目的地是哪里。

如果模长为 x，幅角为 y，则复数为：

\frac{x}{\cos y}+\frac{x}{\sin y}\mathrm i

加法

众所周知 (a+b\mathrm i)+(c+d\mathrm i)=a+b\mathrm i+c+d\mathrm i=(a+c)+(b+d)\mathrm i。

我们来做个练习吧。

(1+2\mathrm i)+(3+4\mathrm i)=? (114+514\mathrm i)+(1919+810\mathrm i)=?

减法

有什么区别呢？

(3+2\mathrm i)-(4+\mathrm i)=? (114+514\mathrm i)-(1919+810\mathrm i)=?

乘法

Warning：上面的东西都非常 Easy，下面请坐好扶稳。

&(a+b\mathrm i) \times (c+d\mathrm i) \\ =&ac+ad\mathrm i+bc\mathrm i+bd\mathrm i^2 \\ =&ac+(ad+bc)\mathrm i+(-1)bd \\ =&(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm i \end{aligned}

练习：

(1+\mathrm i)(2−3\mathrm i)=? (2-\mathrm i)(3-2\mathrm i)=? (5-2\mathrm i)^3=?

Attention is all you need.（前方高能警告，看上面感觉吃力的可以跳到下一章。）

原两个复数的模长分别是：

1. \sqrt{a^2+b^2}
2. \sqrt{c^2+d^2}

乘积为：

&\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} \\ =&\sqrt{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2} \end{aligned}

新复数的模长为：

&\sqrt{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2} \\ =&\sqrt{a^2c^2+b^2d^2-2abcd+a^2d^2+b^2c^2+2abcd} \\ =&\sqrt{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2} \end{aligned}

两数完全相同。

原两个复数的幅角为：

1. \arctan{\dfrac{b}{a}}
2. \arctan{\dfrac{d}{c}}

和为：

&\arctan{\dfrac{b}{a}}+\arctan{\dfrac{d}{c}} \\ =&\arctan{\dfrac{\frac{b}{a} + \frac{d}{c}}{(1 - \frac{bd}{ac})}} \\ =&\arctan{\dfrac{\left(\frac{bc+ad}{ac}\right)}{\left(\frac{ac-bd}{ac}\right)}} \\ =&\arctan{\dfrac{ad+bc}{ac-bd}} \end{aligned}

新向量的幅角为：

\arctan{\dfrac{ad+bc}{ac-bd}}

两数完全相同。

所以，复数加法遵循着另一个规则：模长相乘，幅角相加。

除法

前方高能 \times 2，蒟蒻中的蒟蒻可以跳过了。

&\dfrac{a+b\mathrm i}{c+d\mathrm i}\\ =&\dfrac{(a+b\mathrm i)(c-d\mathrm i)}{(c+d\mathrm i)(c-d\mathrm i)} \\ =&\dfrac{(ac+bd)+(bc-ad)\mathrm i}{c^2-(d\mathrm i)^2} \\ =&\dfrac{(ac+bd)+(bc-ad)\mathrm i}{c^2+d^2} \\ =&\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i \end{aligned}

看起来有点复杂，我们要验算一下（前方高能警告 \times 3）：

&(\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i)(c+d\mathrm i) \\ =&\dfrac{ac^2+bcd}{c^2+d^2}+\dfrac{acd+bd^2}{c^2+d^2}\mathrm i+\dfrac{bc^2-acd}{c^2+d^2}\mathrm i-\dfrac{bcd-ad^2}{c^2+d^2} \\ =&\dfrac{ac^2+bcd-bcd+ad^2}{c^2+d^2}+\dfrac{acd+bd^2+bc^2-acd}{c^2+d^2}\mathrm i \\ =&\dfrac{a(c^2+d^2)}{c^2+d^2}+\dfrac{b(c^2+d^2)}{c^2+d^2}\mathrm i\\ =&a+b\mathrm i \end{aligned}

验算完毕。

题不想出了。

平方

自己乘自己，so eazy，不过还是把公式推一推。

&(aa-bb)+(ab+ba)\mathrm i \\ =&(a^2-b^2)+2ab\mathrm i \end{aligned}

战斗结束。

中场休息

以下默认是 a+b\mathrm i 或 a+b\mathrm i 与 c+d\mathrm i 的运算。

模长：\sqrt{a^2+b^2}。

幅角：\begin{cases} \arctan{\dfrac{b}{a}}&a\neq0 \\ 90^\circ&a=0 \land b>0 \\ -90^\circ&a=0\land b<0 \\ 114514^\circ&a=0\land b=0 \end{cases}。

（最后一个开玩笑的，未定义）。

模长为 x，幅角为 y，则复数为： \dfrac{x}{\cos y}+\dfrac{x}{\sin y}\mathrm i

加法：(a+c)+(b+d)\mathrm i。

减法：(a-c)+(b-d)\mathrm i。

乘法：(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm i 且模长相乘，幅角相加。

除法：\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i

平方：(a^2-b^2)+2ab\mathrm i

最后的拓展：欧拉公式

e^{\mathrm i\theta}=\cos\theta+\mathrm i\sin\theta

详见 ggb，点击 n 右下角的箭头。（为了不重叠，e^{\mathrm i\theta} 向左平移 1，\cos\theta+\mathrm i\sin\theta 向右平移 1）。

据说当初是欧拉瞪眼法瞪出来的，注意力惊人！

e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots=\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}\dfrac{x^i}{i!} \color{red}\sin x=\dfrac{x}{1!}-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots=\lim\limits_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n}(-1)^i \times \dfrac{x^{2i+1}}{(2i+1)!} \color{blue}\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}=\lim\limits_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n}(-1)^i \times \dfrac{x^{2i}}{(2i)!}

然后就是欧拉的瞪眼：

\color{red}\sin x+\color{blue}\cos x\color{black}=\color{blue}1\color{red}-\dfrac{x}{1!}\color{blue}-\dfrac{x^2}{2!}\color{red}+\dfrac{x^3}{3!}\color{blue}+\dfrac{x^4}{4!}\color{red}-\cdots

当时复数还没有特别普及，但是欧拉显然知道这一点，所以欧拉：

\color{red}\sin \mathrm ix+\color{blue}\cos \mathrm ix\color{black}=\color{blue}1\color{red}-\dfrac{\mathrm ix}{1!}\color{blue}+\dfrac{x^2}{2!}\color{red}-\dfrac{\mathrm ix^3}{3!}\color{blue}+\dfrac{x^4}{4!}\color{red}+\cdots

发现出现了复数，并且都是在 \sin 负责的地方，继续：

\mathrm i\color{red}\sin \mathrm ix+\color{blue}\cos \mathrm ix\color{black}=\color{blue}1\color{red}+\dfrac{x}{1!}\color{blue}+\dfrac{x^2}{2!}\color{red}+\dfrac{x^3}{3!}\color{blue}+\dfrac{x^4}{4!}\color{red}+\cdots\color{black}=e^x

但是在 \sin 和 \cos 的参数里面出现复数不太好，但是可以加到 e^x 中，令 \theta=\mathrm ix：

\mathrm i\sin \theta+\cos \theta=e^{\mathrm i\theta}

证明结束！

return 0;