AC自动机
hyfhaha
2019-05-02 10:45:51
begin：2019/5/2
update 2020/6/12 更新了LaTeX（咕了好久
感谢大家支持！
## [更好的阅读体验](https://www.cnblogs.com/hyfhaha/p/10802604.html)
# AC自动机详细讲解
**AC自动机**真是个好东西！之前学$KMP$被$Next$指针搞晕了，所以咕了许久都不敢开**AC自动机**，近期学完之后，发现**AC自动机**并不是很难，特别是对于$KMP$，个人感觉**AC自动机**比$KMP$要好理解一些，可能是因为我对树上的东西比较敏感（实际是因为我到现在都不会$KMP$）。
很多人都说**AC自动机**是在$Trie$树上作$KMP$，我不否认这一种观点，因为这确实是这样，不过对于刚开始学**AC自动机**的同学们就一些误导性的理解（至少对我是这样的）。$KMP$是建立在一个字符串上的，现在把$KMP$搬到了树上，不是很麻烦吗？实际上**AC自动机**只是有$KMP$的一种思想，实际上跟一个字符串的$KMP$有着很大的不同。
所以看这篇blog，请放下$KMP$，理解好$Trie$，再来学习。
## 前置技能
1.[$Trie$](https://www.luogu.org/blog/juruohyfhaha/trie-xue-xi-zong-jie)(很重要哦)
2.$KMP$的思想（懂思想就可以了，不需要很熟练）
# 问题描述
给定$n$个模式串和$1$个文本串，求有多少个模式串在文本串里**出现过**。
注意：是出现过，就是出现多次只算一次。
默认这里每一个人都已经会了$Trie$。
我们将$n$个模式串建成一颗$Trie$树，建树的方式和建$Trie$完全一样。
假如我们现在有文本串$ABCDBC$。
我们用文本串在$Trie$上匹配，刚开始会经过$2、3、4$号点，发现到$4$，成功地匹配了一个模式串，然后就不能再继续匹配了，这时我们还要重新继续从根开始匹配吗？
不，这样的效率太慢了。这时我们就要借用$KMP$的思想，从$Trie$上的某个点继续开始匹配。
明显在这颗$Trie$上，我们可以继续从$7$号点开始匹配，然后匹配到$8$。
那么我们怎么确定从那个点开始匹配呢？我们称$i$匹配失败后继续从$j$开始匹配，$j$是$i$的$Fail$（失配指针）。
## 构建Fail指针
### $Fail$的含义
$Fail$指针的实质含义是什么呢？
如果一个点$i$的$Fail$指针指向$j$。那么$root$到$j$的字符串是$root$到$i$的字符串的一个后缀。
举个例子：（例子来自上面的图
```cpp
i:4 j:7
root到i的字符串是“ABC”
root到j的字符串是“BC”
“BC”是“ABC”的一个后缀
所以i的Fail指针指向j
```
同时我们发现，“$C$”也是“$ABC$”的一个后缀。
所以$Fail$指针指的$j$的深度要尽量大。
重申一下$Fail$指针的含义：**((最长的(当前字符串的后缀))**在$Trie$上可以查找到)的末尾编号。
感觉读起来挺绕口的蛤。感性理解一下就好了，没什么卵用的。知道$Fail$有什么用就行了。
### 求$Fail$
首先我们可以确定，每一个点$i$的$Fail$指针指向的点的深度一定是比$i$小的。（Fail指的是后缀啊）
第一层的$Fail$一定指的是$root$。（比深度$1$还浅的只有$root$了）
设点$i$的父亲$fa$的$Fail$指针指的是$fafail$，那么如果$fafail$有和$i$值相同的儿子$j$，那么$i$的$Fail$就指向$j$。这里可能比较难理解一点，建议画图理解，不过等会转换成代码就很好理解了。
由于我们在处理$i$的情况必须要先处理好$fa$的情况，所以求$Fail$我们使用$BFS$来实现。
#### 实现的一些细节：
* 1、刚开始我们不是要初始化第一层的$fail$指针为$root$，其实我们可以建一个虚节点$0$号节点，将$0$的**所有儿子**指向$root$（$root$编号为$1$，记得初始化)，然后$root$的$fail$指向$0$就OK了。效果是一样的。
* 2、如果不存在一个节点$i$，那么我们可以将那个节点设为$fafail$的**((值和$i$相同)的儿子)**。保证存在性，就算是$0$也可以成功返回到根，因为$0$的所有儿子都是根。
* 3、无论$fafail$存不存在和$i$值相同的儿子$j$，我们都可以将$i$的$fail$指向$j$。因为在处理$i$的时候$j$已经处理好了，如果出现这种情况，$j$的值是第$2$种情况，也是有实际值的，所以没有问题。
* 4、实现时不记父亲，我们直接让父亲更新儿子
```cpp
void getFail(){
for(int i=0;i<26;i++)trie[0].son[i]=1; //初始化0的所有儿子都是1
q.push(1);trie[1].fail=0; //将根压入队列
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
for(int i=0;i<26;i++){ //遍历所有儿子
int v=trie[u].son[i]; //处理u的i儿子的fail，这样就可以不用记父亲了
int Fail=trie[u].fail; //就是fafail，trie[Fail].son[i]就是和v值相同的点
if(!v){trie[u].son[i]=trie[Fail].son[i];continue;} //不存在该节点，第二种情况
trie[v].fail=trie[Fail].son[i]; //第三种情况，直接指就可以了
q.push(v); //存在实节点才压入队列
}
}
}
```
# 查询
求出了$Fail$指针，查询就变得十分简单了。
为了避免重复计算，我们每经过一个点就打个标记为$-1$，下一次经过就不重复计算了。
同时，如果一个字符串匹配成功，那么他的$Fail$也肯定可以匹配成功（后缀嘛），于是我们就把$Fail$再统计答案，同样，$Fail$的$Fail$也可以匹配成功，以此类推……经过的点累加$flag$，标记为$-1$。
最后主要还是和$Trie$的查询是一样的。
```cpp
int query(char* s){
int u=1,ans=0,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;i++){
int v=s[i]-'a';
int k=trie[u].son[v]; //跳Fail
while(k>1&&trie[k].flag!=-1){ //经过就不统计了
ans+=trie[k].flag,trie[k].flag=-1; //累加上这个位置的模式串个数，标记 已 经过
k=trie[k].fail; //继续跳Fail
}
u=trie[u].son[v]; //到儿子那,存在性看上面的第二种情况
}
return ans;
}
```
# 代码
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1000001
using namespace std;
struct kkk{
int son[26],flag,fail;
}trie[maxn];
int n,cnt;
char s[1000001];
queue<int >q;
void insert(char* s){
int u=1,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;i++){
int v=s[i]-'a';
if(!trie[u].son[v])trie[u].son[v]=++cnt;
u=trie[u].son[v];
}
trie[u].flag++;
}
void getFail(){
for(int i=0;i<26;i++)trie[0].son[i]=1; //初始化0的所有儿子都是1
q.push(1);trie[1].fail=0; //将根压入队列
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
for(int i=0;i<26;i++){ //遍历所有儿子
int v=trie[u].son[i]; //处理u的i儿子的fail，这样就可以不用记父亲了
int Fail=trie[u].fail; //就是fafail，trie[Fail].son[i]就是和v值相同的点
if(!v){trie[u].son[i]=trie[Fail].son[i];continue;} //不存在该节点，第二种情况
trie[v].fail=trie[Fail].son[i]; //第三种情况，直接指就可以了
q.push(v); //存在实节点才压入队列
}
}
}
int query(char* s){
int u=1,ans=0,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;i++){
int v=s[i]-'a';
int k=trie[u].son[v]; //跳Fail
while(k>1&&trie[k].flag!=-1){ //经过就不统计了
ans+=trie[k].flag,trie[k].flag=-1; //累加上这个位置的模式串个数，标记已经过
k=trie[k].fail; //继续跳Fail
}
u=trie[u].son[v]; //到下一个儿子
}
return ans;
}
int main(){
cnt=1; //代码实现细节，编号从1开始
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%s",s);
insert(s);
}
getFail();
scanf("%s",s);
printf("%d\n",query(s));
return 0;
}
```
updata：2019/5/7 AC自动机的应用
# AC自动机的一些应用
先拿[**P3796** 【模板】AC自动机（加强版）](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3796)来说吧。
无疑，作为**模板2**，这道题的解法也是十分的经典。
我们先来分析一下题目：输入和模板1一样
1、求出现次数最多的次数
2、求出现次数最多的模式串
明显，我们如果统计出每一个模式串在文本串出现的次数，那么这道题就变得十分简单了，那么问题就变成了如何统计每个模式串出现的次数。
**做法：AC自动机**
首先题目统计的是出现次数最多的字符串，所以有重复的字符串是没有关系的。（因为后面的会覆盖前面的，统计的答案也是一样的）
那么我们就将标记模式串的$flag$设为当前是第几个模式串。就是下面插入时的变化：
```cpp
trie[u].flag++;
变为
trie[u].flag=num; //num表示该字符串是第num个输入的
```
求$Fail$指针没有变化，原先怎么求就怎么求。
**查询**：我们开一个数组$vis$，表示第$i$个字符串出现的次数。
因为是重复计算，所以不能标记为$-1$了。
我们每经过一个点，如果有模式串标记，就将$vis[模式串标记]++$。然后继续跳fail，原因上面说过了。
这样我们就可以将每个模式串的出现次数统计出来。剩下的大家应该都会QwQ！
### 总代码
```cpp
//AC自动机加强版
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1000001
using namespace std;
char s[151][maxn],T[maxn];
int n,cnt,vis[maxn],ans;
struct kkk{
int son[26],fail,flag;
void clear(){memset(son,0,sizeof(son));fail=flag=0;}
}trie[maxn];
queue<int>q;
void insert(char* s,int num){
int u=1,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;i++){
int v=s[i]-'a';
if(!trie[u].son[v])trie[u].son[v]=++cnt;
u=trie[u].son[v];
}
trie[u].flag=num; //变化1：标记为第num个出现的字符串
}
void getFail(){
for(int i=0;i<26;i++)trie[0].son[i]=1;
q.push(1);trie[1].fail=0;
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
int Fail=trie[u].fail;
for(int i=0;i<26;i++){
int v=trie[u].son[i];
if(!v){trie[u].son[i]=trie[Fail].son[i];continue;}
trie[v].fail=trie[Fail].son[i];
q.push(v);
}
}
}
void query(char* s){
int u=1,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;i++){
int v=s[i]-'a';
int k=trie[u].son[v];
while(k>1){
if(trie[k].flag)vis[trie[k].flag]++; //如果有模式串标记，更新出现次数
k=trie[k].fail;
}
u=trie[u].son[v];
}
}
void clear(){
for(int i=0;i<=cnt;i++)trie[i].clear();
for(int i=1;i<=n;i++)vis[i]=0;
cnt=1;ans=0;
}
int main(){
while(1){
scanf("%d",&n);if(!n)break;
clear();
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%s",s[i]);
insert(s[i],i);
}
scanf("%s",T);
getFail();
query(T);
for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(vis[i],ans); //最后统计答案
printf("%d\n",ans);
for(int i=1;i<=n;i++)
if(vis[i]==ans)
printf("%s\n",s[i]);
}
}
```
update:2019/5/9
# AC自动机的优化
## topo建图优化
让我们了分析一下刚才那个**模板2**的时间复杂度，算了不分析了，直接告诉你吧，这样暴力去跳$fail$的最坏时间复杂度是$O(模式串长度 · 文本串长度)$。
为什么？因为对于每一次跳$fail$我们都只使深度减$1$，那样深度是多少，每一次跳的时间复杂度就是多少。那么还要乘上文本串长度，就几乎是 $O(模式串长度 · 文本串长度)$的了。
那么**模板1**的时间复杂度为什么就只有$O(模式串总长)$。因为每一个$Trie$上的点都只会经过**一次**（打了标记），但**模板2**每一个点就不止经过一次了（重复算，不打标记），所以时间复杂度就爆炸了。
那么我们可不可以让**模板2**的$Trie$上每个点只经过一次呢？
嗯~，还真可以！
题目看这里：[**P5357** 【模板】AC自动机（二次加强版）](https://www.luogu.org/problemnew/show/P5357)
### 做法：拓扑排序
让我们把$Trie$上的$fail$都**想象**成一条条**有向边**，那么我们如果在一个点对那个点进行一些操作，那么沿着这个点连出去的点也会进行操作（就是跳$fail$），所以我们才要暴力跳$fail$去更新之后的点。
我们还是用上面的图，举个例子解释一下我刚才的意思。
我们先找到了编号$4$这个点，编号$4$的$fail$连向编号$7$这个点，编号$7$的$fail$连向编号$9$这个点。那么我们要更新编号$4$这个点的值，同时也要更新编号$7$和编号$9$，这就是暴力跳$fail$的过程。
我们下一次找到编号$7$这个点，还要**再次**更新编号$9$，所以时间复杂度就在这里被浪费了。
那么我们可不可以在找到的点打一个标记，最后再**一次性**将标记全部上传 来 更新其他点的$ans$。例如我们找到编号$4$，在编号$4$这个点打一个$ans$标记为$1$，下一次找到了编号$7$，又在编号$7$这个点打一个$ans$标记为$1$，那么最后，我们直接从编号$4$开始跳$fail$，然后将标记$ans$上传，**((点i的fail)的ans)加上(点i的ans)**，最后使编号$4$的$ans$为$1$，编号$7$的$ans$为$2$，编号$9$的$ans$为$2$，这样的答案和暴力跳$fail$是一样的，并且每一个点只经过了**一次**。
最后我们将有$flag$标记的$ans$传到$vis$数组里，就求出了答案。
em……，建议先消化一下。
那么现在问题来了，怎么确定更新顺序呢？明显我们打了标记后肯定是从**深度大**的点开始更新上去的。
怎么实现呢？**拓扑排序！**
我们使每一个点向它的$fail$指针连一条边，明显，每一个点的**出度**为$1$（$fail$只有一个），**入度**可能很多，所以我们就不需要像拓扑排序那样先建个图了，直接往$fail$指针跳就可以了。
最后我们根据$fail$指针建好图后（想象一下，程序里不用实现），一定是一个$DAG$，具体原因不解释（很简单的），那么我们就直接在上面跑拓扑排序，然后更新$ans$就可以了。
#### 代码实现：
首先是$getfail$这里，记得将$fail$的**入度**$in$更新。
```cpp
trie[v].fail=trie[Fail].son[i]; in[trie[v].fail]++; //记得加上入度
```
然后是$query$，不用暴力跳$fail$了，直接打上标记就行了，很简单吧
```cpp
void query(char* s){
int u=1,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;++i)
u=trie[u].son[s[i]-'a'],trie[u].ans++; //直接打上标记
}
```
最后是拓扑，解释都在注释里了OwO!
```cpp
void topu(){
for(int i=1;i<=cnt;++i)
if(in[i]==0)q.push(i); //将入度为0的点全部压入队列里
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();vis[trie[u].flag]=trie[u].ans; //如果有flag标记就更新vis数组
int v=trie[u].fail;in[v]--; //将唯一连出去的出边fail的入度减去（拓扑排序的操作）
trie[v].ans+=trie[u].ans; //更新fail的ans值
if(in[v]==0)q.push(v); //拓扑排序常规操作
}
}
```
应该还是很好理解的吧，实现起来也没有多难嘛！
对了还有重复单词的问题，和下面讲的"P3966[TJOI2013]单词"的解决方法一样的，不讲了吧。
# 习题讲解
基础题：[**P3966** [TJOI2013]单词](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3966)
这道题和上面那道题没有什么不同，文本串就是将模式串用神奇的字符（例如"♂"）隔起来的串。
但这道题有相同字符串要统计，所以我们用一个$Map$数组存这个字符串指的是$Trie$中的那个位置，最后把$vis[Map[i]]$输出就OK了。
下面是P5357【模板】AC自动机（二次加强版）的代码（套娃？大雾），剩下的大家怎么改应该还是知道的吧。
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 2000001
using namespace std;
char s[maxn],T[maxn];
int n,cnt,vis[200051],ans,in[maxn],Map[maxn];
struct kkk{
int son[26],fail,flag,ans;
}trie[maxn];
queue<int>q;
void insert(char* s,int num){
int u=1,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;++i){
int v=s[i]-'a';
if(!trie[u].son[v])trie[u].son[v]=++cnt;
u=trie[u].son[v];
}
if(!trie[u].flag)trie[u].flag=num;
Map[num]=trie[u].flag;
}
void getFail(){
for(int i=0;i<26;i++)trie[0].son[i]=1;
q.push(1);
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
int Fail=trie[u].fail;
for(int i=0;i<26;++i){
int v=trie[u].son[i];
if(!v){trie[u].son[i]=trie[Fail].son[i];continue;}
trie[v].fail=trie[Fail].son[i]; in[trie[v].fail]++;
q.push(v);
}
}
}
void topu(){
for(int i=1;i<=cnt;++i)
if(in[i]==0)q.push(i); //将入度为0的点全部压入队列里
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();vis[trie[u].flag]=trie[u].ans; //如果有flag标记就更新vis数组
int v=trie[u].fail;in[v]--; //将唯一连出去的出边fail的入度减去（拓扑排序的操作）
trie[v].ans+=trie[u].ans; //更新fail的ans值
if(in[v]==0)q.push(v); //拓扑排序常规操作
}
}
void query(char* s){
int u=1,len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;++i)
u=trie[u].son[s[i]-'a'],trie[u].ans++;
}
int main(){
scanf("%d",&n); cnt=1;
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%s",s);
insert(s,i);
}getFail();scanf("%s",T);
query(T);topu();
for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d\n",vis[Map[i]]);
}
```
To be continue……