Manacher=马拉车
大家好，我们今天来扯Manacher算法了。
I.马拉车可以干什么？
一句话：对于一个字符串s，在O(|S|)时间内，求出它的最长回文子串。
II.预处理
对于一个字符串，它的回文串可以有两种类型：
A.奇回文串
例:AACCBCCAA
特征:有单一回文中心（例中的B）。
B.偶回文串
例：AABBCCBBAA
特征：对称中心是两个（例中的BB）。
两者性质并不相同，必须分类讨论。
但是，我们有一种方法，可以将两者统一成一种类型：
在原串每两个字符之间，以及串头串尾，都加上一个无关字符（例如 # 等）。
例：
AABBCCDD\rightarrow #A#A#B#B#C#C#D#D#。
ABCBA\rightarrow #A#B#C#B#A#。
这样的话，原串中的奇回文串与偶回文串，都被统一成了奇回文串。（奇回文串变成以原串字符为对称中心的回文串，偶回文串变成以 # 为对称中心的回文串）。
代码（在读入时直接进行操作）：
inline void getln(){
s[0]='$',S=1;
char c=getchar();
while(c>'z'||c<'a')c=getchar();
while(c>='a'&&c<='z')s[S++]=c,s[S++]='$',c=getchar();
s[S]='\0';
}
III.主算法
（默认字符串从0开始）
（暂时忽略添加进来的 # 字符，因为忽略也无影响）
先考虑暴力思路：枚举对称中心，然后枚举对称半径。总复杂度O(n^2)。
（当然，可以哈希+二分达到O(nlog_2n)，但是这个思路对我们没有帮助）
同kmp算法一样，我们可以思考一些操作来避免重复枚举。
这时候我们就可以设两个变量：
例:**ABABAAC**，在位置$3$时，$Rpos=4$。在位置$2$和$3$的回文串都曾达到这里。
$Centre$：对于当前的$Rpos$，它所对应的对称中心。如果有多个，取最左端的一个。
例:**ABABAAC**，在位置$3$时，$Centre=2$。在位置$2$和$3$的回文串都曾达到$Rpos$，但是$2$是最左端的一个。
我们再设一个数组$rad$，表示位置$i$时的回文半径。
| 字母 | A | B | A | B | A | A | C |
| :----------: | :----------: | :----------: | :----------: | :----------: | :----------: | :----------: | :----------: |
| $rad_i$ | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 |
（自动忽略了偶回文串）。
接下来我们就开始操作了。
初始令$Rpos=Centre=-1$。
对于当前位置$i$：
#### 1. $i \geq Rpos
暴力延伸，这里是未涉及到的新地方。
2. i < Rpos
这时，我们令ref为i关于Centre的对称点（即Centre*2-i）。
同时令Lpos为Rpos关于Centre的对称点。
再令lp为以ref为对称中心的回文串的左边界。
2.1. Lpos<lp
因为是回文串，所以有s_{Lpos}...s_{Centre}=s_{Rpos}...s_{Centre}
则关于ref对称的回文串，也是关于i对称的回文串（想一想，左右对称）。
如图：
2.2. Lpos\geq lp
对称的只有从i到Rpos的一段，剩下的部分两边是不同的，仍需暴力扩展。
如图：
IV.实现
inline void Manacher(){
Centre=Rpos=-1;
for(register int i=0;i<S;i++){
rad[i]=(i<Rpos)?min(Rpos-i,rad[Centre*2-i]):1;
while(i+rad[i]<S&&i-rad[i]>=0)if(s[i+rad[i]]==s[i-rad[i]])rad[i]++;else break;
if(i+rad[i]>Rpos)Rpos=i+rad[i],Centre=i;
Ans=max(Ans,rad[i]);
}
}
实现与上面的描述很不一致，我们逐行分析。
rad[i]=(i<Rpos)?min(Rpos-i,rad[Centre*2-i]):1;
用了三目运算符。
它的意思是：
如果i<Rpos，那么rad_i=min(Rpos-i,rad_{Centre*2-i}
回忆一下，ref就是Centre*2-i。
$rad_{Centre*2-i}$，就是上文$2.1$中的可用部分。
两者取$min$，就很显然了。
而当$i \geq Rpos$时，$rad_i=1$（默认单个字符本身就为回文串）。
然后就是暴力跳了。
```cpp
while(i+rad[i]<S&&i-rad[i]>=0)if(s[i+rad[i]]==s[i-rad[i]])rad[i]++;else break;
```
分析一下，在情形$1$和$2.2$，都需要暴力跳。在情形$2.1$，暴力跳一次就会退出。
然后按定义更新$Rpos$和$Centre$，同时取答案。
```cpp
if(i+rad[i]>Rpos)Rpos=i+rad[i],Centre=i;
Ans=max(Ans,rad[i]);
```
最终答案为$Ans-1$，因为在长度为$n$的原串中加入了$n+1$个 **#** 。但是$rad$又是半径，也要再加入$rad-1$个字符才能构成回文串。
总复杂度$O(n)$。~~分析复杂度是不可能的，这辈子都是不可能的。~~
### V.大礼包
**本文所有代码使用的分隔符都是dollar符号，但是由于$\LaTeX$的缘故，在讲解时使用 # 符号。另，还是因为$\LaTeX$，文中的dollar符号全部莫名其妙多了一个空格，请自行删除。**
（代码：[【模板】manacher算法](https://www.luogu.com.cn/problem/P3805)
```cpp
#pragma GCC optimise(3)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[22000100];
int S,rad[22001000],Centre,Rpos,Ans;
inline void getln(){
s[0]='$',S=1;
char c=getchar();
while(c>'z'||c<'a')c=getchar();
while(c>='a'&&c<='z')s[S++]=c,s[S++]='$',c=getchar();
s[S]='\0';
}
inline void Manacher(){
Centre=Rpos=-1;
for(register int i=0;i<S;i++){
rad[i]=(i<Rpos)?min(Rpos-i,rad[Centre*2-i]):1;
while(i+rad[i]<S&&i-rad[i]>=0)if(s[i+rad[i]]==s[i-rad[i]])rad[i]++;else break;
if(i+rad[i]>Rpos)Rpos=i+rad[i],Centre=i;
Ans=max(Ans,rad[i]);
}
}
int main(){
getln();
Manacher();
printf("%d\n",Ans-1);
return 0;
}
```
~~（忽略上面的O3）~~
### VI.例题
[ [POI2010]ANT-Antisymmetry](https://www.luogu.com.cn/problem/P3501)
题意：给你一个长度为$n$的$01$串，求它的非空并在异或意义下回文的子串数。
这里我们介绍马拉车的扩展：
引入$to$数组，表示每个字符与哪个字符匹配。
例如，在模板题中，有$\forall c \in ['a','z'],to_c=c$。
而在这道题中，有$to_{'1'}='0',to_{'0'}='1'
并且我们令to[#]=[#]
然后就可以匹配了。
注意！！这个时候初始回文串长度应为0，因为自己不一定与自己相配。
即：
rad[i]=(i<Rpos)?min(Rpos-i,rad[Centre*2-i]):0;
最后是0不是1。
另，统计答案时应是：
Ans+=(rad[i]>>1);
因为加入了辅助字符 # ，所以数量要减半。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int S,rad[1001000],Rpos,Centre,Ans;
char s[1001000],to[129];
void getln(){
char c=getchar();
to['0']='1',to['1']='0',to['$']='$';
s[0]='$',S=1;
while(c!='0'&&c!='1')c=getchar();
while(c=='0'||c=='1')s[S++]=c,s[S++]='$',c=getchar();
s[S]='\0';
}
void Manacher(){
Rpos=Centre=-1;
for(int i=0;i<S;i++){
rad[i]=(i<Rpos)?min(Rpos-i,rad[Centre*2-i]):0;
while(i-rad[i]>=0&&i+rad[i]<S)if(to[s[i-rad[i]]]==s[i+rad[i]])rad[i]++;else break;
if(i+rad[i]>Rpos)Rpos=i+rad[i],Centre=i;
Ans+=(rad[i]>>1);
}
}
signed main(){
scanf("%lld",&S);
getln();
Manacher();
printf("%lld",Ans);
return 0;
}
VII.总结
马拉车还是很妙的，总思想同也是求字符串匹配的Z算法类似。有兴趣的同学可以研究一下。
完结撒Manacher~~
（实在找不到Manacher本人图片了）