[x^n]g(x)f(x)^k for k in [0,m]

update：完善了一下情况 3 的做法。 我们经常能遇到这样一类经典问题： > 对 $k=0,1,\cdots,m$ 求 $a_k=[x^n]g(x)f(x)^k$ 其中 $g(x),f(x)$ 一般具有简单的封闭形式，下面分情况整理一下做法。 以下定义 $\operatorname{ord}F(x)$ 为 $F(x)$ 的最低非零项的次数。 1. $f(x)$ 没有负次项，常数项为零，一次项非零。 最简单的一种情况，设 $h(x)=f^{\langle -1 \rangle}(x)$，应用另类 Lagrange 反演就有： $$a_k=[x^{n-k}]g(h(x))h'(x)\left( \frac{x}{h(x)}\right)^{n+1}$$ 2. $f(x)$ 没有负次项，$\operatorname{ord} f(x)>1$。 设 $d=\operatorname{ord}f(x)$，$c=[x^d]f(x)$。再设 $F(x)=\sqrt[d]{f(x)/c}$，则： $$a_k=c^k[x^n]g(x)F(x)^{dk}$$ 就可以按照情况 1 的方法直接求解。 3. $f(x)$ 没有负次项，常数项非零。 设常数项为 $c$，$F(x)=f(x)-c$，若 $\operatorname{ord}F(x)=1$，可以设 $h(x)=F^{\langle -1 \rangle}(x)$： $$a_k=[x^n]g(x)(F(x)+c)^k$$ $$=[x^n]g(h(x))(x+c)^kh'(x) \left( \frac{x}{h(x)}\right)^{n+1}$$ 这样把原问题就可以简化为 $f(x)=x+c$ 的情况（但 $g(x)$ 可能不再有简单的封闭形式）： $$b_k=[x^n]g(x)(x+c)^k=\sum_{i=0}^k \binom ki g_{n-i}c^{k-i} $$ 也就是算出 $g(x) \bmod x^{n+1}$ 后再翻转系数，就可以直接卷积计算了。 如果 $\operatorname{ord}F(x)>1$，也可以类比情况 2 的处理方法，把问题化简为 $f(x)=x^d+c$ 的情况。 4. $f(x)$ 为有负次项的形式 Laurent 级数。 只需注意到 $f(x)$ 的乘法逆就是形式幂级数，设 $F(x)=f(x)^{-1}$，则： $$a_k=[x^n]g(x)F(x)^{-k}$$ 若 $F(x)$ 的一次项非零，可以设其复合逆为 $h(x)$，则： $$a_k=[x^{n+k}]g(h(x))h'(x)\left( \frac{x}{h(x)}\right)^{n+1}$$ 若 $\operatorname{ord}F(x)>1$ ，类比一下情况 2 即可。 最后，如果 $f(x)$ 是代数幂级数，且 $g(x)$ 是微分有限的，那么 $a_k$ 显然可以整式递推计算。不过这是 ODE 自动机的事了，不是我的事（