题解 P5024 【保卫王国】

题意

　　有棵树，可以花p_i代价把i点染色，要求任2个相邻点至少有1个被染色。给出m组询问，每次强制两个点的状态(染/不染)，求出每次的最小花费。

咕咕咕

　　noip2018 day2T3 毒瘤题，考ddp个人觉得跟天天爱跑步有得比。(代码似乎更长)

　　这里不讲O(nm)的暴力dp做法(大家都会吧...)

分析

　　很容易发现，暴力不优秀的地方在于每次都把以前算过的丢掉并重新O(n)算了一遍。我们考虑优化这一点。

　　假设没有任何限制，我们可以简单地先对树进行一遍dp，即用dp[0/1][u]表示点u不选/选。设v为u的一个儿子，就得到一个十分重要的方程:

\left\{ \begin{array}{lr} dp[0][u]=\sum dp[1][v],\\ dp[1][u]=\sum min\lbrace dp[0][v],dp[1][v]\rbrace. \end{array} \right.

　　对于一组询问(u,v)，由于强制选或不选，我们会把不能出现的情况的dp值置为无限大.(比如强制u选,那么我们使dp[0][u]=INF就可以)，此时我们观察这对所有dp值的影响，如图(以1为根)。 　　

　　可以发现，改变的是u,v两点到根的两条链，也可看作它们到lca，再从lca到根的路径。也就是说，其他的子树都可以用预先处理出来的答案直接代入！

　　现在问题变成了如何求这几条链上的答案。 　　

　　这里设L为u,v的lca.那些"绒毛"状物连着小的子树.

　　其中A,B为u,v所属子树，C是根节点1在另一边的子树，D是L的不包含u,v的子树。

　　于是我们现在知道A,B的答案，试图通过加粗的几条链把答案更新到根节点。因为改变u,v状态只是把一些dp值改为INF，我们可以考虑也预处理出来。

倍增预处理

　　我们希望预处理一个f数组使dp值能快速转移。鉴于我们之前已经对树dp过，在f的状态里就不需要有关dp值的东西了(若有需要可以直接拉过来用)。我们只关心点选不选。

　　比如用f[0/1][0/1][x][y]表示x不选/选，y不选/选时，x到y的链(假设dp值往一个方向更新)上能得到的最大的dp值.

　　什么意思？

简化一下就是说，我们把x到y的链拉出来，假设y是叶子,x是根，我们从y开始往上dp,一直到x时的答案(min(dp[0][x],dp[1][x])).

　　有了这个，我们就可以直接把u到L和v到L的f的值加起来讨论一下啦。然鹅空间是n^2的...于是有了倍增。

设f[0/1][0/1][i][u]表示u不选/选，u往上跳2^i步的祖先不选/选时，从u开始dp到那个祖先的答案。

　　转移f数组很简单，只需要讨论一下u和那个祖先的中点的状态,取min就行。并且可以证明，这样的一个方程对于确定的x和i，值都是固定的。

　　现在你可能发现问题了...

那些"绒毛"怎么办？

显然这些子树都是计算过的，可以直接把dp值拉过来。所以我们重定义方程。

　　设f[0/1][0/1][i][u]表示u不选/选，u往上跳2^i步的祖先不选/选时，从u开始(不包括u)dp到 u往上跳2^i步的祖先 且计入其他子树的最终dp值。即在整个祖先的子树中减去u的子树的影响。

　　e.g. 　　

　　f[0/1][0/1][0][u]即为上图红色部分的贡献。

　　好了，这样我们可以直接把u,v到L的路径上的f数组加起来，并加上u的子树的dp值和v的子树的dp值，添上图中D的贡献，再从L开始加到根节点，以及加上图中C的贡献，就能算出总费用啦...(^し^)

还有一些问题

　　显然一开始做出的dp值都是包含当前我们在做的链下面的子树的贡献的，比如我们要用新的u的dp值更新出新的u的父亲fa的dp值时，要计算fa的别的子树的贡献，它保存在dp[0/1][fa]中，可是dp[0/1][u]，即我们当前要替换的旧的dp值也算在里面了，怎么办？

　　显然，设新的u的dp值为New，新的fa的dp值即为\left\{ \begin{array}{cc} &dp[0][fa]-dp[1][u]+New, \\ or &dp[1][fa]-min\lbrace dp[0][u],dp[1][u] \rbrace+New \end{array} \right.

lca处的新dp值怎么算？

　　为了方便，我们在做u,v的时候更新到lca的儿子处，并讨论lca的状态即可，具体都可见代码。

特殊情况？

　　当u,v在一条链上时，倍增u之后已经在lca上了，此时直接倍增lca即可；

　　当lca为根节点时，显然不需要倍增lca，此时直接算出总答案。

总结

　　大致步骤如下：

　　1.dfs预处理dp数组和f数组(倍增数组);

　　对于询问：

　　2.将深度大的点u往v的深度跳(类似倍增lca)同时更新新的dp值；

　　3.u,v同时往上跳至lca的儿子处同时更新新的dp值；

　　4.得到lca的dp值，再往上跳至根节点的儿子处同时更新新的dp值；

　　5.讨论根节点的状态得出最终答案。(特殊情况见上)

代码

　　好丑啊...⁄(⁄⁄•⁄ω⁄•⁄⁄)⁄

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#define il inline
#define vd void
#define mn 100005
#define INF 100000000000000 //1e14
#define rg register
#define ll long long
#define rep(i,x,y) for(register int i=x;i<=y;++i)
#define drp(i,x,y) for(register int i=x;i>=y;--i)
using namespace std;
const int Len=2333333,aa[18]={1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,16384,32768,65536,131072};
char buf[Len],*p1=buf,*p2=buf,duf[Len],*q1=duf;
il char gc(); il int rd(); il vd pc(char c); il vd rt(ll x); il vd flush();
template<class T> il T Max(T a,T b){return a>b?a:b;}
template<class T> il T Min(T a,T b){return a<b?a:b;}
int n,m,ty,u,v,cnt,x,y,p[mn],h[mn],fa[19][mn],dep[mn],Log[mn];
ll dp[3][mn],f[3][3][19][mn];
struct E{int to,nxt;}e[mn<<1];
il vd Add(int u,int v){e[++cnt]=(E){v,h[u]},h[u]=cnt;}
vd Dfs(int u){
    dep[u]=dep[fa[0][u]]+1,dp[1][u]=p[u],f[0][0][0][u]=INF; //相邻点不能都为0
    for(rg int i=1;aa[i]<dep[u];++i) fa[i][u]=fa[i-1][fa[i-1][u]];
    for(rg int i=h[u];i;i=e[i].nxt){int v=e[i].to;
        if(v!=fa[0][u]) fa[0][v]=u,Dfs(v),
            dp[0][u]+=dp[1][v],dp[1][u]+=Min(dp[0][v],dp[1][v]);
    } //以上为dp转移
}
vd Cfs(int u){
    //f[0][1][0][u]=dp[1][fa[0][u]]-dp[0][u],
    //f[1][0][0][u]=dp[0][fa[0][u]]-dp[1][u],
    //f[1][1][0][u]=dp[1][fa[0][u]]-dp[1][u];
    f[1][0][0][u]=dp[0][fa[0][u]]-dp[1][u],
    f[0][1][0][u]=f[1][1][0][u]=dp[1][fa[0][u]]-Min(dp[0][u],dp[1][u]);
    for(rg int i=1;aa[i]<dep[u];++i){
        int F=fa[i-1][u];
        f[0][0][i][u]=Min(f[0][0][i-1][u]+f[0][0][i-1][F],f[0][1][i-1][u]+f[1][0][i-1][F]),
        f[0][1][i][u]=Min(f[0][0][i-1][u]+f[0][1][i-1][F],f[0][1][i-1][u]+f[1][1][i-1][F]),
        f[1][0][i][u]=Min(f[1][0][i-1][u]+f[0][0][i-1][F],f[1][1][i-1][u]+f[1][0][i-1][F]),
        f[1][1][i][u]=Min(f[1][0][i-1][u]+f[0][1][i-1][F],f[1][1][i-1][u]+f[1][1][i-1][F]);
    }// 4种情况的合并
    for(rg int i=h[u];i;i=e[i].nxt) if(e[i].to!=fa[0][u]) Cfs(e[i].to);
}
il vd Work(){
    if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v),swap(x,y);
    int L;
    ll u0=INF,u1=INF,v0=INF,v1=INF,l0=INF,l1=INF,ans;
    x?u1=dp[1][u]:u0=dp[0][u],y?v1=dp[1][v]:v0=dp[0][v];
    for(rg int i=Log[dep[u]-dep[v]];i>=0;--i) if(dep[u]-aa[i]>=dep[v]){
        ll t0=u0,t1=u1;
        u0=Min(t0+f[0][0][i][u],t1+f[1][0][i][u]),
        u1=Min(t0+f[0][1][i][u],t1+f[1][1][i][u]),
        //printf("%d ",u);
        u=fa[i][u];
        //printf("%d %lld %lld\n",u,u0,u1);
    } //u往上跳
    if(u==v) L=u,y?l1=u1:l0=u0; //在1条链上
    else{
        for(rg int i=Log[dep[u]-1];i>=0;--i) if(fa[i][u]!=fa[i][v]){
            ll t0=u0,t1=u1,p0=v0,p1=v1;
            u0=Min(t0+f[0][0][i][u],t1+f[1][0][i][u]),
            u1=Min(t0+f[0][1][i][u],t1+f[1][1][i][u]),
            v0=Min(p0+f[0][0][i][v],p1+f[1][0][i][v]),
            v1=Min(p0+f[0][1][i][v],p1+f[1][1][i][v]),
            u=fa[i][u],v=fa[i][v];
        } //一起跳
        L=fa[0][u],l0=dp[0][L]-dp[1][u]-dp[1][v]+u1+v1,
        l1=dp[1][L]-Min(dp[0][u],dp[1][u])-Min(dp[0][v],dp[1][v])+Min(u0,u1)+Min(v0,v1);
    }// 注意这里减去两个儿子的贡献
    //printf("%d\n",L);
    if(L==1) ans=Min(l0,l1); //特判L=1
    else{
        for(rg int i=Log[dep[L]-2];i>=0;--i) if(dep[L]-aa[i]>1){
            ll t0=l0,t1=l1;
            l0=Min(t0+f[0][0][i][L],t1+f[1][0][i][L]),
            l1=Min(t0+f[0][1][i][L],t1+f[1][1][i][L]),
            L=fa[i][L];
        }//L往上跳
        ans=Min(dp[0][1]-dp[1][L]+l1,dp[1][1]-Min(dp[0][L],dp[1][L])+Min(l0,l1));
    }
    rt(ans<INF?ans:-1),pc('\n');
}
int main(){
    n=rd(),m=rd(),ty=rd();
    rep(i,1,n) p[i]=rd();
    rep(i,2,n) u=rd(),v=rd(),Add(u,v),Add(v,u),Log[i]=Log[i>>1]+1;
    Dfs(1),Cfs(1);
    //rep(i,1,n) printf("%d 0:%lld 1:%lld\n",i,dp[0][i],dp[1][i]);
    //puts("");
    //int P=1;
    //rep(i,1,n) printf("%d %lld %lld %lld %lld\n",i,f[0][1][P][i],f[1][0][P][i],f[1][1][P][i],f[0][0][P][i]);
    //puts("");
    while(m--) u=rd(),x=rd(),v=rd(),y=rd(),Work();
    return flush(),0;
}

il char gc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,Len,stdin),p1==p2)?-1:*p1++;}
il int rd(){char c; int f=1;
    while(!isdigit(c=gc())&&c!='-');
    c=='-'?f=-1,c=gc():0; int x=c^48;
    while(isdigit(c=gc())) x=((x+(x<<2))<<1)+(c^48);
    return x*f;
}
il vd pc(char c){q1==duf+Len&&fwrite(q1=duf,1,Len,stdout),*q1++=c;}
il vd rt(ll x){x<0?pc('-'),x=-x:0,pc((x>=10?rt(x/10),x%10:x)+48);}
il vd flush(){fwrite(duf,1,q1-duf,stdout);}

有点Luosuo...还有问题大家一定要提出啊ioi