- 凸性不等式
- 范数不等式
- Cauchy 不等式
- Hölder 不等式
- 等价形式及 Calson 不等式
- Minkowski 不等式
- 权方和不等式
- 再谈幂平均不等式
- 切比雪夫单调不等式
凸性不等式
我们由 Jensen 不等式这一有关凸函数的基本不等式，引入一些重要的不等式。
Jensen 不等式
设函数 f(x) 下凸，则：
f\!\left(\frac{p_1x_1+p_2x_2+\cdots+p_nx_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}\right)\leqslant\frac{p_1f(x_1)+p_2f(x_2)+\cdots+p_nf(x_n)}{p_1+p_2+\cdots+p_n}
上凸则不等号反号。
加权 AG 不等式
\frac{p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_na_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}\geqslant(a_1^{p_1}a_{2}^{p_2}\cdots a_n^{p_n})^{\frac{1}{p_1+p_2+\cdots+p_n}}
### (广义) Young 不等式
$$
\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{p_i}\geqslant\prod_{i=1}^na_i^{\frac{1}{p_i}},\qquad\left(p_{i(i\leqslant n)}>1,\;\;\sum_{i=1}^n\frac{1}{p_i}=1\right)
$$
## 幂平均不等式
以下定义**幂平均**：
$$M_{\mathbf a}(r)=
\begin{cases}
\left(\dfrac{a_1^{r}+a_2^{r}+\cdots+a_n^{r}}{n}\right)^{\frac{1}{r}},&r\neq 0\\
\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\,,&r=0
\end{cases}\;,\qquad
$$
则 $M_{\mathbf a}(r)$ 在 $\mathbb R$ 上连续且单增。
$Proof.\quad$首先我们注意到，几何平均是极限
$$
\begin{aligned}&\lim_{r\to 0}\left(\frac{a_1^{r}+a_2^{r}+\cdots+a_n^{r}}{n}\right)^{\frac{1}{r}}\\&\qquad\qquad=\lim_{r\to 0}\left(1+\frac{(a_1^{r}-1)+\cdots+(a_n^{r}-1)}{n}\right)^{\frac{1}{r}}\\&\qquad\qquad=\lim_{r\to 0}\left(1+\frac{\ln a_1a_2\cdots a_n}{n}r\right)^{\frac{1}{r}}\\&\qquad\qquad=\exp\frac{\ln a_1a_2\cdots a_n}{n}\\=&\;\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\end{aligned}
$$
我们用 Jensen 不等式证明之。考虑 $M(s),M(t)$，设 $f(x)=x^{\frac{s}{t}}$，则。当 $s>t>0$ 时，$f(x)$ 下凸，从而：
$$
\frac{a_1^{s}+a_2^{s}+\cdots+a_n^s}{n}\geqslant\left(\frac{a_1^t+a_2^t+\cdots+a_n^t}{n}\right)^{\frac{s}{t}}
$$
得证。$s,t$ 与 $0$ 的其他情况的证明完全相同。
幂平均不等式亦可与赫尔德不等式互相推得。$\square
均值不等式
\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}}\leqslant\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\leqslant\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\leqslant\sqrt{\frac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{n}}
也即 M_{\mathbf a}(-1)<M_{\mathbf a}(0)<M_{\mathbf a}(1)<M_{\mathbf a}(2)。
范数不等式
柯西-布涅珂夫斯基-施瓦茨不等式在 n 维向量空间上体现为 Cauchy 不等式，同样地推出三角不等式。在 \text L^p 空间上，我们通过 Young 不等式证明 Hölder 不等式，并由此导出 Minkowski 不等式，以此说明其为赋范线性空间；对应于 ℓ^p 空间，它们就是下面列出的 Hölder 一众不等式。
Cauchy 不等式
\begin{aligned}
\left(\sum_{k=1}^na_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^nb_k^2\right)&\geqslant\left(\sum_{k=1}^na_kb_k\right)^2\\
\prod_{i=1}^m\sum_{k=1}^na_{ik}^m&\geqslant\left(\sum_{k=1}^n\prod_{i=1}^ma_{ik}\right)^m
\end{aligned}
$$
\|(\alpha,\beta)\|\leqslant\left\|\alpha\right\|\left\|\beta\right\|
$$
在 $\alpha,\beta$ 线性相关时等号成立。否则对任意 $t\in\mathbb C$ 皆有 $\alpha+\beta\neq 0$，从而：
$$
0<\|\alpha+t\beta\|^2=\|\alpha\|^2+\overline t(\alpha,\beta)+t(\beta,\alpha)+t\overline t\|\beta\|^2
$$
取 $t=-\frac{(\alpha,\beta)}{\|\beta\|^2}$ 即有：
$$
0<\|\alpha\|^2-\frac{\|(\alpha,\beta)\|^2}{\|\beta\|^2}
$$
证毕；取标准内积即得柯西不等式。$\square
其广义形式的本质是 Calson 不等式，其源自对 Hölder 不等式的反复运用。这将在之后讨论。
三角不等式
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^m\sqrt{\sum_{k=1}^na_{ik}^2}\geqslant\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^ma_{ik}\right)^2}\\
\end{aligned}
$$
\|\mathbf a_1+\mathbf a_2+\dots+\mathbf a_m\|\leqslant\|\mathbf a_1\|+\|\mathbf a_2\|+\dots+\|\mathbf a_m\|
$$
### 拉格朗日恒等式
$$
\left(\sum_{k=1}^na_kb_k\right)^2=\sum_{k=1}^na_k^2\sum_{k=1}^nb_k^2-\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}\big(a_i{b_j}-a_j{b_i}\big)^2
$$
## Hölder 不等式
$$
\begin{aligned}
\left(\sum_{k=1}^na_k^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{k=1}^nb_k^q\right)^{\frac{1}{q}}&\geqslant\sum_{k=1}^na_kb_k,&\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\\
\prod_{i=1}^m\left(\sum_{k=1}^na_{ik}^{p_i}\right)^{\frac{1}{p_i}}&\geqslant\sum_{k=1}^n\prod_{i=1}^ma_{ik},&\sum_{i=1}^m\frac{1}{p_i}=1\\
\end{aligned}
$$
### 等价形式及 Calson 不等式
$$
\begin{aligned}
\left(\sum_{k=1}^na_k\right)^{p}\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)^q&\geqslant\left(\sum_{k=1}^n\left(a_k^pb_k^q\right)^{\frac{1}{p+q}}\right)^{p+q}\\
\prod_{i=1}^m\left(\sum_{k=1}^na_{ik}\right)^{p_i}&\geqslant\left[\sum_{k=1}^n\left(\prod_{i=1}^ma_{ik}^{p_i}\right)^{\frac{1}{\sum_ip_i}}\right]^{\sum_ip_i}\\
\prod_{i=1}^m\sum_{k=1}^na_{ik}&\geqslant\left[\sum_{k=1}^n\left(\prod_{i=1}^ma_{ik}\right)^{\frac{1}{m}}\right]^{m}
\end{aligned}
$$
$Proof.\quad$兹证明第二行的不等式等价于广义 Hölder 不等式，其余不等式的证明方法完全相同。
$$
\begin{aligned}
\prod_{i=1}^m\left(\sum_{k=1}^na_{ik}\right)^{p_i}&\geqslant\left[\sum_{k=1}^n\left(\prod_{i=1}^ma_{ik}^{p_i}\right)^{\frac{1}{\sum_ip_i}}\right]^{\sum_ip_i}\\\prod_{i=1}^m\left(\sum_{k=1}^na_{ik}\right)^{\frac{p_i}{\sum_ip_i}}&\geqslant\sum_{k=1}^n\prod_{i=1}^ma_{ik}^{\frac{p_i}{\sum_ip_i}}\\\prod_{i=1}^m\left[\sum_{k=1}^n\left(a_{ik}^{\frac{1}{q_i}}\right)^{q_i}\right]^{\frac{1}{q_i}}&\geqslant\sum_{k=1}^n\prod_{i=1}^ma_{ik}^{\frac{1}{q_i}}\\\prod_{i=1}^m\left(\sum_{k=1}^nb_{ik}^{q_i}\right)^{\frac{1}{q_i}}&\geqslant\sum_{k=1}^n\prod_{i=1}^mb_{ik}\\\end{aligned}
$$
其中 $q_i=\frac{p_i}{\sum_jp_j},b_{ik}=a_{ik}^{\frac{1}{q_i}}$。显见 $\sum_{i}\frac{1}{q_i}=1$，这正是广义 Hölder 不等式。$\square
Minkowski 不等式
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^m\left(\sum_{k=1}^na_{ik}^p\right)^{\frac{1}{p}}\geqslant\left[\sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^ma_{ik}\right)^{p^{^{}}}\right]^{\frac{1}{p}}\\
\end{aligned}
权方和不等式
\sum_{k=1}^n\frac{a_k^{m+1}}{b_k^m}\geqslant\frac{\big(\sum_{k}a_k\big)^{m+1}}{\big(\sum_{k}b_k\big)^{m}}
再谈幂平均不等式
令 \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,\,b_{i(i\leqslant n)}=1,\,p,q>1，考虑：
\begin{aligned}
\left(\sum_{k=1}^na_k^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{k=1}^nb_k^q\right)^{\frac{1}{q}}&\geqslant\sum_{k=1}^na_kb_k\\
\left(\sum_{k=1}^na_k^p\right)^{\frac{1}{p}}n^{1-\frac{1}{p}}&\geqslant \sum_{k=1}^na_k\\
\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k^p\right)^{\frac{1}{p}}&\geqslant\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k\qquad\xlongequal{a_k=x_k^{t},p=\frac{s}{t}>1}\\
\left(\frac{x_1^s+x_2^s+\cdots+x_n^s}{n}\right)^{\frac{t}{s}}&\geqslant \frac{x_1^t+x_2^t+\cdots+x_n^t}{n}
\end{aligned}
由此可知，幂平均不等式本质上等价于赫尔德不等式。
切比雪夫单调不等式
\begin{aligned}
\left(\sum_{k=1}^na_{k}\right)\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)\leqslant n\sum_{k=1}^na_kb_k&&&&&&a_1\leqslant\cdots\leqslant a_n,&&b_1\leqslant\cdots\leqslant b_n\\
\left(\sum_{k=1}^na_{k}\right)\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)\geqslant n\sum_{k=1}^na_kb_k&&&&&&a_1\leqslant\cdots\leqslant a_n,&&b_1\geqslant\cdots\geqslant b_n
\end{aligned}
Proof.
\begin{aligned}
S&=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_j-x_i)(y_j-y_i)\\
&=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_i-x_j)(y_i-y_j)=\sum_{1\leqslant j<i\leqslant n}(x_j-x_i)(y_j-y_i)\\
2S&=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}(x_i-x_j)(y_i-y_j)-\sum_{1\leqslant j=k\leqslant n}(x_i-x_j)(y_i-y_j)\\
&=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}(x_i-x_j)(y_i-y_j)=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}(x_iy_i-x_iy_j-x_jy_i+x_jy_j)\\
&=2\left(\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}x_{i}y_{i}-\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}x_{i}y_{j}\right)=2n\sum_{k=1}^nx_ky_k-2\left(\sum_{k=1}^nx_{k}\right)\!\!\Bigg(\sum_{k=1}^ny_k\Bigg)\\
S&=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_i-x_j)(y_i-y_j)=n\sum_{k=1}^nx_ky_k-\left(\sum_{k=1}^nx_{k}\right)\!\!\Bigg(\sum_{k=1}^ny_k\Bigg).\quad\square
\end{aligned}
第三个等号利用艾弗森方程 [1{\leqslant}i{<}j{\leqslant}n]+[1{\leqslant}j{<}i{\leqslant}n]=[1{\leqslant}i,j{\leqslant}n]-[1{\leqslant}i{=}j{\leqslant}n]。另外，它还可以得到一个副产物，也即切比雪夫恒等式。
切比雪夫恒等式
\left(\sum_{k=1}^na_{k}\right)\!\!\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)=n\sum_{k=1}^na_kb_k-\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_i-a_j)(b_i-b_j)
排序不等式
由切比雪夫单调不等式可以联想到且不难证明，当 (a_i)_{i} 单增时，下式在 (b_{p_i})_{i} 单增时取到最大，在 (b_{p_i})_{i} 单降时取到最小：
\sum_{k=1}^na_kb_{p(k)}