（由于太懒不一定）同步于我的博客
前置技能
引入
从一道题说起……
给定n,s,a_0,a_1,a_2,a_3，求
\sum_{i=0}^{n} {n \choose i} s^i a_{i \bmod 4}
答案对998244353取模
1 \le n \le 10^{18}, 1 \le s,a_0,a_1,a_2,a_3 \le 10^8
一脸绝望
在高中的时候，数学老师教会了我们(a+b)^{n}=\sum_{i=0}^{n}{n \choose i}a^{i}b^{n-i}，然后惊喜的发现这道题不能这么做！
在OI中，我们学习了单位根的基本性质（如果还未学，可从前置技能部分的单位根处点击链接学习），关于单位根还有一个迷之用法——单位根反演
构造生成函数
对于数列a_i，构造其生成函数f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i
现在我们想知道所有下标是k的倍数的a_i的和，既\sum_{i=0}^{n}a_i[k|i]
一个关于[n|k]的等式
有一个关于n次单位根w_n的等式，看起来十分有趣 毒瘤
[n|k]=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ki}
证明
如果n \mid k，设k=np，则
\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}w_n^{npi \bmod n}=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}w_n^{0}=1
注：npi \bmod n=(n \bmod n) \times (pi \bmod n)=0 \times (pi \bmod n)=0
如果n \nmid k，根据等比数列求和公式，则
\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_{n}^{ki}=\frac{1}{n}(w_n^{0}\frac{1-\omega_n^{k(n-1)}}{1-w_n^{k}})=\frac{w_n^0-w_n^{kn}}{n(1-\omega_n^{k})}=0
于是对于N次单位根w_N可以这么搞：
\frac{\sum_{i=0}^{N-1}f(w_N^i)}{N}=\frac{\sum_{i=0}^{n}a_i\sum_{j=0}^{N-1}w_N^{ij}}{N}=\sum_{i=0}^{n}a_i[N \mid i]
于是就可以得到所有下标是N的倍数的a_i的和了
有一个问题
但是发现，只知道所有N \mid i的a_i的和还不够有用，如果分别知道i \bmod N \in [0,N-1]的a_i的和的话就十分有用了
数学老师告诉我们，f(x)通过乘以x的若干次幂可以实现函数的平移（虽然说这句话不太严谨……但还是可以凑合着看看……）
比如说现在有f(x)=a_0x^{0}+a_1x^{1}+a_2x^{2} + \dots
对其乘上x^{-1}后会得到f(x)x^{-1}=a_0x^{-1}+a_1x^{0}+a_2x^{1} + \dots
再用上面的方法求后就得到了N \bmod i = 1的所有a_i和
回到例题
在这道题中，构造f(x)=\sum_{i=0}^{n} {n \choose i} s^i x^i 1^{n-i}=(sx+1)^n
则答案为\sum_{i=0}^{3}a_ic_i，其中c_i=\sum\limits_{j=0}^{n}{n \choose j}s^j[j \bmod 4 = i]
对于c_i的f(\omega_N^j)，因为需要将\omega_N^{j}向右平移i次，只需要将其变为\huge \frac{f(\omega_N^j)}{\omega_N^{ij \bmod 4}}即可
扩展到矩阵上
bzoj 3328
题目描述
给定n,k,p，求
\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} {n \choose ik}F_{ik}
其中F_0=F_1=1，且\forall n \ge 2,F_i=F_{i-1}+F_{i-2}
答案对p取模
1 \le n \le 10^{18}
1 \le k \le 20000
1 \le p \le 10^9
$p \bmod k = 1
题解
单位根反演的结论在矩阵意义上也是成立的
也就是说求
\sum_{i=0}^{n} {n \choose i} F_i [k \mid i]
设A是斐波那契数列的转移矩阵，I为单位矩阵
通过套用二项式定理，有
f(x)=(Ax+I)^n=\sum_{i=0}^{n} {n \choose i}A^ix^iI^{n-i}
再套用单位根反演，有
T=\frac{\sum_{i=0}^{k-1}f(\omega_k^i)}{k}
然后就做完了，答案就是矩阵T的左上角
总结
如果想计算序列a_0, a_1,a_2, \dots , a_n的所有满足k|i的a_i的和的话
首先构造f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i
然后将\omega_k^i(i \in [0,k-1])依次代入到f(x)中，并求和
最后除以k即可
也就是说
\sum_{i=0}^{n}a_i[k|i]=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}f(\omega_k^i)
参考文献
Zhang-RQ 单位根反演学习笔记
shadowice1984 loj6485 LJJ学二项式定理
DT_Kang 【4.13 提高班小记】单位根&&杂题
Mys_C_K [真学习笔记] 前夕 - 单位根反演 - 广义容斥
Regina8023 【BZOJ 3328】PYXFIB