本文中，若无特殊说明，默认大写字母是集合，小写字母是自然数。
已有的符号扩充
在 yummy 还是高三小萌新的时候，数学分析课的第一节课，他知道了 A\times B 表示 \{(x,y)\mid x\in A,y\in B\}。这看上去很合理，对于有限集而言 |A|\times |B|=|A\times B|。
同一节课老师介绍了映射。yummy 接触了 A^B 这个记号，表达的含义是“所有 B\to A 的映射“。例如， \R^\N 表示全体实数数列 a_0,a_1,\ldots, a_n，而 \R^\R 表示全体实数到实数的映射。这也非常合理——对于有限集 A,B，|A^B|=|A|^{|B|}。
实际上这个记号存在一些变形，例如一些时候可以用 A^2 表示 A\times A 或者说 A^{\{0,1\}}，以及一些教科书用 2^A （虽然我们数学课用 \mathscr P(A)）表示 A 的幂集——虽然按理你得到的应该是全体 A\to \{0,1\} 的映射，但是确实每个映射都可以说成某个 A 子集的示性函数，因此也很合理。
我们发现，对于某种记号 f(a,b)，如果我们定义其一种扩展 f(A,B) 满足当 A,B 是有限集的时候，f(|A|,|B|)=|f(A,B)|，那么这种扩展似乎就合理了起来。
按照这个逻辑，我们不妨把其他常见算术也拓展一下。
来点 Abuse
下降幂
一个可能的应用：“$\forall (a,b,c) \in \R^3$，若 $a,b,c$ 互不相同，则 ...”不仅每次都要强调互不相同，若写法不当还可能断错句，是手写笔记中的常见问题。但是如果我们写 $\forall (a,b,c)\in \R^{\underline 3}$，...”就可以避免这类问题。
### 组合数
$\dbinom n k$ 表示从 $n$ 个元素中选出一个 $k$ 元集合的方法数，因此我们可以规定，$\dbinom A B$ 表示 $A$ 中所有和 $B$ 等势的子集构成的集合。
### 阶乘
$n!$ 表示 $1\sim n$ 的双射个数，所以规定 $A!$ 为 $A$ 到 $A$ 的全体双射。
下面尝试证明 $A^{\underline B}$ 总是等势于 $\dbinom A B\times B!$。
对于所有 $S\in \dbinom A B$，根据定义，存在一些双射 $p:S\to B$。现在对于任意 $S$，定义 $\pi_S$ 为其中某一个 $p$。
下面证明 $g:(f\in A^{\underline B})\mapsto (Im(f),f\circ\pi_{Im(f)})$ 是双射。
**单射的证明**：如果 $g(f_1)=g(f_2)$，则 $Im(f_1)=Im(f_2)$（记为 $S$），且 $f_1\circ \pi_S=f_2\circ \pi_S$。因为 $\pi_S$ 是双射，所以 $f_1=f_2$。
**满射的证明**：对于 $S\in \dbinom A B$ 和 $p\in B!$，不难发现 $g(p\circ \pi^{-1}_S)=(S,p\circ \pi_S^{-1}\circ \pi_S)=(S,p)$。
### 斯特林数
$\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}$ 表示把 $n$ 个不同的球放进 $k$ 个相同的盒子里，每个盒子至少有一个球的方案数。
因此定义 $S\in\begin{Bmatrix}A\\B\end{Bmatrix}$ 当且仅当 $B,S$ 等势，且 $\coprod\limits_{I\in S} I=A$（$A$ 中元素都被放进去了且被塞入一个集合），且 $\forall I\in S$，$I$ 测度（默认为计数测度）非 $0$。
一个例子是高中的全概率公式。使用斯特林数，我们可以把全概率公式改写成：$\forall A\subseteq \Omega,\forall B\in \begin{Bmatrix}\Omega\\n\end{Bmatrix},P(A)= \sum\limits_{I\in B} P(A|I)P(I)$。
## 后记
（待填充）
或许我们还可以引进其他组合数学的记号，如果有好的建议欢迎补充。