Description
给定连通电路图 G = (V, E)，所有边电阻均为 R，求各点电势。
Solution
Part 1
- 令 G 的关联矩阵为 M，x 为所有点电势构成的列向量。令 V = Mx，则 V_i 描述了边 i 两侧的电势差。
- 由欧姆定律，令 I = \frac {V} {R}，则 I_i 描述了边 i 的电流大小。
-
- 若无源汇，由基尔霍夫定律，有 $M^TI = 0$。
- 否则，有 $M^TI = f$。
整理得 M^TMx = Rf。
Part 2
令基尔霍夫矩阵 K = M^TM，f_0 = Rf，问题转化为解 Kx = f_0。
考虑 \text{rank}(K) 的值。
- 显然 K 所有列向量之和为 0，因此 \text{rank}(K) < n。
- 由于 G 连通，根据 Matrix Tree 定理，K 各主子式非零，因此 \text{rank}(K) \ge n - 1。
从而 \text{rank}(K) = n - 1。
因此，K 的列空间由所有元素和 =0 的向量构成。换言之，Kx = f_0 有解，当且仅当 \boldsymbol{f_0} 各元素和为 \boldsymbol{0}。
上述条件等价于，所有源点流出的流量 = 所有汇点流入的流量，从直观上理解也是容易的。
Part 3
令 x_p 为 Kx = f_0 的某个特解，\{x_1, x_2, \cdots, x_l\} 为 Kx = 0 的基础解系，则
Kx = f_0 \iff x = x_p + \sum_{i = 1} ^ l \alpha_i x_i
由于 K 的零空间大小 = n - \text{rank}(K) = 1，因此 l = 1。可令
x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}
综上所述，电势向量 x 满足
x = x_p + \begin{bmatrix} C \\ C \\ \vdots \\ C \end{bmatrix}
综上所述，若电路图连通，则各点电势可几乎唯一确定，由特殊情况下的电势加上相同的偏移量得到；而零势面，则决定了该偏移量的大小。