dijkstra 详解

前言

什么是dijkstra?

dijkstra的原理/流程?

• 我们把点分成两类,一类是已经确定最短路径的点,称为"白点",另一类是未确定最短路径的点,称为"蓝点"
• dijkstra$的流程如下$:
• 3.$ 遍历$x$的所有出边$(x,y,z),$若$dis[y] > dis[x] + z,$则令$dis[y] = dis[x] + z
• 4.$ 重复$2,3$两步,直到所有点都成为白点$.
• 时间复杂度为O(n^2)

dijkstra为什么是正确的

• 当所有边长都是非负数的时候,全局最小值不可能再被其他节点更新.所以在第2步中找出的蓝点x必然满足:dis[x]已经是起点到x的最短路径.我们不断选择全局最小值进行标记和拓展,最终可以得到起点到每个节点的最短路径的长度

图解

• (令start = 1)
• 开始时我们把dis[start]初始化为0,其余点初始化为inf
• 第一轮循环找到dis值最小的点1,将1变成白点,对所有与1相连的蓝点的dis值进行修改,使得dis[2]=2,dis[3]=4,dis[4]=7
• 第二轮循环找到dis值最小的点2,将2变成白点,对所有与2相连的蓝点的dis值进行修改,使得dis[3]=3,dis[5]=4
• 第三轮循环找到dis值最小的点3,将3变成白点,对所有与2相连的蓝点的dis值进行修改,使得dis[4]=4
• 接下来两轮循环分别将4,5设为白点,算法结束,求出所有点的最短路径
• 时间复杂度O(n^2)

为什么dijkstra不能处理有负权边的情况?

• 我们来看下面这张图
• 这时的dis[3]=1,然而1并不是起点到3的最短路径.因为3已经被标为白点,所以dis[3]不会再被修改了.我们在边权存在负数的情况下得到了错误的答案.

dijkstra的堆优化?

• 观察dijkstra的流程,发现步骤2可以优化

• 怎么优化呢?

• 我会zkw线段树!我会斐波那契堆!

• 我会堆!

• 我们可以用堆对dis数组进行维护,用O(\log_{2}n)的时间取出堆顶元素并删除,用O(\log_{2}n)遍历每条边,总复杂度O((n+m)\log_{2}n)

• 范例代码:

#include<bits/stdc++.h>

const int MaxN = 100010, MaxM = 500010;

struct edge
{
    int to, dis, next;
};

edge e[MaxM];
int head[MaxN], dis[MaxN], cnt;
bool vis[MaxN];
int n, m, s;

inline void add_edge( int u, int v, int d )
{
    cnt++;
    e[cnt].dis = d;
    e[cnt].to = v;
    e[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt;
}

struct node
{
    int dis;
    int pos;
    bool operator <( const node &x )const
    {
        return x.dis < dis;
    }
};

std::priority_queue<node> q;

inline void dijkstra()
{
    dis[s] = 0;
    q.push( ( node ){0, s} );
    while( !q.empty() )
    {
        node tmp = q.top();
        q.pop();
        int x = tmp.pos, d = tmp.dis;
        if( vis[x] )
            continue;
        vis[x] = 1;
        for( int i = head[x]; i; i = e[i].next )
        {
            int y = e[i].to;
            if( dis[y] > dis[x] + e[i].dis )
            {
                dis[y] = dis[x] + e[i].dis;
                if( !vis[y] )
                {
                    q.push( ( node ){dis[y], y} );
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf( "%d%d%d", &n, &m, &s );
    for(int i = 1; i <= n; ++i)dis[i] = 0x7fffffff;
    for( register int i = 0; i < m; ++i )
    {
        register int u, v, d;
        scanf( "%d%d%d", &u, &v, &d );
        add_edge( u, v, d );
    }
    dijkstra();
    for( int i = 1; i <= n; i++ )
        printf( "%d ", dis[i] );
    return 0;
}

例题

• 入门模板:P3371
• 进阶模板:P4779
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后记

• 本文部分内容摘自李煜东《算法竞赛进阶指南》和《信息学竞赛一本通》
• 友情提示:正权图请使用dijkstra算法,负权图请使用SPFA算法
• 感谢洛谷各位管理员提供的平台

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