特殊行列式的应用
SalomeJLQ
2022-12-29 22:06:56
此文作为 行列式与矩阵理论入门 的补充。
多项式理论中的应用
范德蒙德行列式
$$
\begin{pmatrix}
1&1&1&\cdots&1\\
a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\
a_1^2&a^2_2&a^2_3&\cdots&a^2_n\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a^{n-2}_1&a^{n-2}_2&a^{n-2}_3&\cdots&a^{n-2}_n\\
a^{n-1}_1&a^{n-1}_2&a^{n-1}_3&\cdots&a^{n-1}_n
\end{pmatrix}
$$
称为**范德蒙德矩阵**，其（或其转置）对应的行列式 $\det\boldsymbol A$ 称为**范德蒙德行列式**。
计算 $n$ 较小的情况，我们可以给出以下猜想，认为范德蒙德行列式的值为
$$
\prod_{j<i}(a_i-a_j).
$$
$\bf Theorem\;5.1.2.
\begin{vmatrix}
1&1&1&\cdots&1\\
a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\
a_1^2&a^2_2&a^2_3&\cdots&a^2_n\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a^{n-2}_1&a^{n-2}_2&a^{n-2}_3&\cdots&a^{n-2}_n\\
a^{n-1}_1&a^{n-1}_2&a^{n-1}_3&\cdots&a^{n-1}_n
\end{vmatrix}=\prod_{j<i}(a_i-a_j)
$$
\begin{aligned}
\det\boldsymbol A&=\begin{vmatrix}
1&1&1&\cdots&1\\
0&a_2-a_1&a_3-a_1&\cdots&a_n-a_1\\
0&a_2(a_2-a_1)&a_3(a_3-a_1)&\cdots&a_n(a_n-a_1)\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&a^{n-3}_2(a_2-a_1)&a^{n-3}_3(a_3-a_1)&\cdots&a^{n-3}_n(a_n-a_1)\\
0&a^{n-2}_2(a_2-a_1)&a^{n-2}_3(a_3-a_1)&\cdots&a^{n-2}_n(a_n-a_1)
\end{vmatrix}\\
&=(a_2-a_1)(a_3-a_1)\cdots(a_n-a_1)\begin{vmatrix}
1&1&\cdots&1\\
a_2&a_3&\cdots&a_n\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a^{n-3}_2&a^{n-3}_3&\cdots&a^{n-3}_n\\
a^{n-2}_2&a^{n-2}_3&\cdots&a^{n-2}_n
\end{vmatrix}\\
&=\left(\prod_{i=2}^{n}(a_i-a_1)\right)\prod_{2\leqslant j<i\leqslant n}(a_i-a_j)=\prod_{j<i}(a_i-a_j).\end{aligned}
$$
## 拉格朗日插值
给出一组 $n$ 对互异的 $(x_i,y_i)$ 表示 $f\in\mathbb R[x]$ 在 $x_i\in\mathbb R$ 处的取值为 $y_i$。这相当于给出了线性方程组
$$
\begin{cases}
c_1+c_2x_1+\dots+c_nx_1^{n-1}=y_1\\
c_1+c_2x_2+\dots+c_nx_2^{n-1}=y_2\\
\,\vdots\quad\;\;\,\vdots\qquad\qquad\quad\,\vdots\qquad\quad\;\;\;\vdots\\
c_1+c_2x_n+\dots+c_nx_n^{n-1}=y_n\\
\end{cases}
$$
显然只考虑 $n-1$ 次即可，且系数矩阵的行列式不为零，该方程有唯一解。下面将对其进行求解。
由克拉默法则，我们得到其解为 $c_j=\frac{|\boldsymbol A_j|}{|\boldsymbol A|}$，故有
$$
f(x)=\sum_{j=1}^{n}\frac{|\boldsymbol A_j|}{|\boldsymbol A|}x^{j-1},
$$
惯常将 $\boldsymbol A_j$ 按第 $j$ 列展开，便得到
$$
f(x)=\sum_{j=1}^{n}\frac{\sum_{i}y_iA_{ij}}{|\boldsymbol A|}x^{j-1}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{|\boldsymbol A|}\left(\sum_{j=1}^nx^{j-1}A_{ij}\right)y^i.
$$
而 $\sum_{j}x^{j-1}A_{ij}$ 为行列式
$$
\begin{vmatrix}
1&x_1&x_1^2&x_1^{3}&\cdots&x_1^{n-1}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&x_{i-1}&x_{i-1}^2&x_{i-1}^{3}&\cdots&x_{i-1}^{n-1}\\
1&x&x^2&x^{3}&\cdots&x^{n-1}\\
1&x_{i+1}&x_{i+1}^2&x_{i+1}^{3}&\cdots&x_{i+1}^{n-1}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&x_1&x_n^2&x_n^{3}&\cdots&x_n^{n-1}
\end{vmatrix},
$$
用 $|\boldsymbol A|$ 去除该行列式，除了 $x$ 与 $x_i$ 相关的项均被约去，仅剩
$$
\prod_{k\neq i}\frac{x-x_k}{x_i-x_k}.
$$
于是我们便得到了熟知的拉格朗日插值定理。
$\bf Theorem\;5.2$**（拉格朗日插值法）** $\quad$ 设有一组 $n$ 对互异的 $(x_i,y_i)$，则由这 $n$ 对数能唯一确定一个 $n-1$ 次多项式 $f(x)$ 满足 $f(x_i)=y_i$，具有形式
$$
f(x)=\sum_{i=1}^ny_i\prod_{k\neq i}\frac{x-x_k}{x_i-x_k}.
$$
# 朗斯基行列式
$\bf Definition\;5.3.1\quad$给定复数域上 $n$ 个 $n-1$ 次可微函数 $f_1,\cdots,f_n\in\mathbb C^{n-1}[a,b]$，它们的**朗斯基行列式** (Wronsky) 定义为：
$$
\mathbf W_{(f_1,f_2,\dots f_n)}=\begin{vmatrix}
f_1&f_2&f_3&\cdots&f_n\\
f_1'&f_2'&f_3'&\cdots&f_n'\\
f_1''&f_2''&f_3''&\cdots&f_n''\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
f_1^{(n-1)}&f_2^{(n-1)}&f_3^{(n-1)}&\cdots&f_n^{(n-1)}
\end{vmatrix}
$$
## 可微函数线性无关的充分条件
Wronsky 行列式可用以判断 $n$ 个 $n-1$ 次可微函数是否线性无关。
$\bf Theorem\;5.3.2\quad$如果 $\exists x_0\in[a,b]$，使得 $\mathrm W(x_0)\neq 0$，那么 $f_1(x),\cdots,f_n(x)$ 线性无关。
$Proof.\quad$设
$$\sum_{k=1}^na_kf_k(x)=0,$$
在其两端分别求 $0$ 至 $n-1$ 阶导数，得方程
$$
\begin{cases}\sum\limits_{k=1}^na_kf_k(x)=0\\\sum\limits_{k=1}^na_kf_k'(x)=0\\\cdots\quad\cdots\quad\cdots\quad\cdots\\\sum\limits_{k=1}^na_kf_k^{(n-1)}(x)=0\end{cases}
$$
取 $x=x_0$ 所得关于 $k$ 的方程组，其系数行列式
$$
\begin{vmatrix}
f_1(x_0)&f_2(x_0)&f_3(x_0)&\cdots&f_n(x_0)\\
f_1'(x_0)&f_2'(x_0)&f_3'(x_0)&\cdots&f_n'(x_0)\\
f_1''(x_0)&f_2''(x_0)&f_3''(x_0)&\cdots&f_n''(x_0)\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
f_1^{(n-1)}(x_0)&f_2^{(n-1)}(x_0)&f_3^{(n-1)}(x_0)&\cdots&f_n^{(n-1)}(x_0)
\end{vmatrix}
$$
即为 $\mathbf W_{(f_1,\cdots,f_n)}(x_0)$。因为该行列式非零，所以以上方程组只有零解。从而 $f_1,f_2,\cdots,f_n$ 线性无关。
### 三角函数系的线性无关性
$\bf Proposition\;5.3.3\quad$在 $\mathbb{R^R}$ 中，$1,\cos x,\cos2x,\dotsc,\cos nx$ 线性无关。
$Proof.\quad n=0$ 时线性无关。现在假设 $n-1$ 时线性无关，推至 $n$ 的情形。设
$$
\sum_{k=0}^na_k\cos kx=0,
$$
分别求二阶导，得
$$
-\sum_{k=1}^nk^2a_k\cos kx=0,
$$
对第一个式子乘以 $n^2$ 并与之相加得到
$$
\sum_{k=0}^{n-1}\left(n^2-k^2\right)a_k\cos kx=0.
$$
根据归纳假设，$(n^2-k^2)$ 在 $k<n$ 时均为 $0$。从而 $a_0=\dots=a_{n-1}=0$。于是可得 $a_n\cos nx=0$，从而 $a_n=0$，线性无关。$\square
$Proof.\quad$设
$$
\sum_{k=0}^na_k\sin^kx=0,
$$
分别取 $\frac{1}{n+1}\frac{\pi}{2},\dots,\frac{n+1}{n+1}\frac{\pi}{2}$ 代入，得到方程组
$$
\begin{cases}{\Large\sum\limits_{\scriptsize{k{=}0}}^{\scriptsize n}}a_k\sin^k\dfrac{1}{n+1}\dfrac{\pi}{2}=0\\{\Large\sum\limits_{\scriptsize{k{=}0}}^{\scriptsize n}}a_k\sin^k\dfrac{2}{n+1}\dfrac{\pi}{2}=0\\\;\vdots\qquad\vdots\qquad\qquad\vdots\qquad\vdots\\{\Large\sum\limits_{\scriptsize{k{=}0}}^{\scriptsize n}}a_k\sin^k\dfrac{n+1}{n+1}\dfrac{\pi}{2}=0\end{cases}
$$
其系数行列式
$$
\begin{vmatrix}1&\sin\dfrac{1}{n+1}\dfrac{\pi}{2}&\sin^2\dfrac{1}{n+1}\dfrac{\pi}{2}&\cdots&\sin^n\dfrac{1}{n+1}\dfrac{\pi}{2}\\1&\sin\dfrac{2}{n+1}\dfrac{\pi}{2}&\sin^2\dfrac{2}{n+1}\dfrac{\pi}{2}&\cdots&\sin^n\dfrac{2}{n+1}\dfrac{\pi}{2}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&\sin\dfrac{n+1}{n+1}\dfrac{\pi}{2}&\sin^2\dfrac{n+1}{n+1}\dfrac{\pi}{2}&\cdots&\sin^n\dfrac{n+1}{n+1}\dfrac{\pi}{2}\end{vmatrix}
$$
是范德蒙德行列式。显然 $\sin$ 在 $\left[0,\frac\pi2\right]$ 上单增，故其行列式非零。从而 $a_0=\dots=a_n=0$，线性无关。$\square
雅可比行列式
$$\frac{\partial(f_1,f_2,\cdots,f_n)}{\partial(x_1,x_2,\cdots,x_n)}
=\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}&\dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}&\dfrac{\partial f_1}{\partial x_3}&\cdots&\dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\
\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1}&\dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}&\dfrac{\partial f_2}{\partial x_3}&\cdots&\dfrac{\partial f_2}{\partial x_n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\dfrac{\partial f_n}{\partial x_1}&\dfrac{\partial f_n}{\partial x_2}&\dfrac{\partial f_n}{\partial x_3}&\cdots&\dfrac{\partial f_n}{\partial x_n}
\end{vmatrix},
$$
相对应的矩阵称**雅可比矩阵**，记作
$$
\mathbf J_{F}(x_1,x_2,\cdots,x_n).
$$
## 向量值函数的微分
$\bf Definition\;5.5.2\quad$设 $\Omega\in\mathbb R^m$ 为开集，称 $(\text dx_i)_{i\leq m}$ 为**基线性函数**。对于向量值函数 $\boldsymbol f:\Omega\to\mathbb R^n$，若存在极限
$$
\lim_{\|\boldsymbol h\|\to 0}\frac{\|\boldsymbol f(\boldsymbol x+\boldsymbol h)-\boldsymbol f(\boldsymbol x)-\boldsymbol{Ah}\|}{\|\boldsymbol h\|}=0,
$$
则称 $\boldsymbol f$ 在 $\boldsymbol x$ 点**可微**，并称 $\boldsymbol A$ 为**导数**，记作 $\text D\boldsymbol f$。
由向量值函数的复合求导法则，我们容易得到
$$
\text D\boldsymbol f(x)=\frac{\partial(f_1,f_2,\cdots,f_m)}{\partial(x_1,x_2,\cdots,x_m)}
=\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}&\dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}&\dfrac{\partial f_1}{\partial x_3}&\cdots&\dfrac{\partial f_1}{\partial x_m}\\
\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1}&\dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}&\dfrac{\partial f_2}{\partial x_3}&\cdots&\dfrac{\partial f_2}{\partial x_m}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
\dfrac{\partial f_m}{\partial x_1}&\dfrac{\partial f_m}{\partial x_2}&\dfrac{\partial f_m}{\partial x_3}&\cdots&\dfrac{\partial f_m}{\partial x_m}
\end{vmatrix}.
$$
同时我们记
$$
\text d\boldsymbol f(x)=(\text D\boldsymbol f)\cdot(\text dx_i),
$$
这便是 $\boldsymbol f(x)$ 的全微分。
# 三对角行列式
三对角行列式在特殊行列式中占有重要地位。
## 三对角行列式的通式
### 特殊形式的解法
$\bf Lemma\;1.\quad$求行列式 $F_n=\begin{vmatrix}\vartheta+\psi&\vartheta\psi\\
1&\vartheta+\psi&\vartheta\psi\\
&\ddots&\ddots&\ddots\\
&&1&\vartheta+\psi&\vartheta\psi\\
&&&1&\vartheta+\psi
\end{vmatrix}$，其中 $\vartheta\neq\psi$。
按第一行展开得
$$
\begin{aligned}
F_n&=(\vartheta+\psi)F_{n-1}-\vartheta\psi F_{n-2}\\
F_n-\psi F_{n-1}&=\vartheta(F_{n-1}-\psi F_{n-2})=\vartheta^{n-2}(F_2-\psi F_1),
\end{aligned}
$$
得 $F_n-\psi F_{n-1}=\vartheta^n$，对称地，$F_n-\vartheta F_{n-1}=\psi^n$，得
$$
F_n=\frac{\vartheta^{n+1}-\psi^{n+1}}{\vartheta-\psi}.
$$
$\bf Lemma\;2.\quad$求行列式 $D_n=\begin{vmatrix}2a&a^2\\
1&2a&a^2\\
&1&\ddots&\ddots\\
&&\ddots&\ddots&a^2\\
&&&1&2a&a^2\\
&&&&1&2a
\end{vmatrix}$ 的值。
按第一行展开得
$$
\begin{aligned}
D_n&=2aD_{n-1}-a^2D_{n-2}\\
D_n-aD_{n-1}&=a(D_{n-1}-aD_{n-2}).
\end{aligned}
$$
归纳，并以初值代入得
$$
D_n-aD_{n-1}=a^{n-2}(D_2-aD_1)=a^n.
$$
显然 $aD_{n-1}-a^2D_{n-2}=a^n$，则展开可得 $D_n-a^{n-1}D_1=(n-1)a^n$，即
$$
D_n=(n+1)a^n.
$$
### 一般形式
现在来求三对角行列式 $D_n=\begin{vmatrix}
a&b\\
c&a&b\\
&\ddots&\ddots&\ddots\\
&&c&a&b\\
&&&c&a
\end{vmatrix}
$。
每一列提出一个 $c$ 得
$$
D_n=c^n\begin{vmatrix}
\dfrac ac&\dfrac bc\\
1&\dfrac ac&\dfrac bc\\
&\ddots&\ddots&\ddots\\
&&1&\dfrac ac&\dfrac bc\\
&&&1&\dfrac ac
\end{vmatrix}.
$$
这样，令 $\vartheta+\psi=\dfrac{a}{c},\,\vartheta\psi=\dfrac bc$，则 $\vartheta,\psi$ 是以下方程的两个根：
$$
x^2-\frac{a}{c}x+\frac{b}{c}=0
$$
将 $F_n:=\dfrac{1}{c^n}D_n$ 按照 $\bf Lemma\,1.$ 的结果代入得
$$
F_n=\frac{\vartheta^{n+1}-\psi^{n+1}}{\vartheta-\psi},\qquad(\vartheta\neq\psi),
$$
而 $D_n=c^nF_n$；又恰有 $\alpha=c\vartheta,\,\beta=c\psi$，从而
$$
D_n=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha-\beta},
$$
这是 $a^2\neq 4bc$ 时的结果。否则需另求它解；按照 $Lemma\,2.$ 的结果，为
$$
D_n=(n+1)\frac{a^n}{2^n},\qquad(\vartheta=\psi).
$$
## 主对角行列式
主对角行列式有诸多应用，以下给出两例。
$\bf Example\;5.5.1\quad$主对角行列式可用以证明 $\rm Fib$ 数列的通项。构造行列式
$$
\mathbf F_n=\begin{vmatrix}
1&-1&0&0&\cdots&0&0&0\\
1&1&-1&0&\cdots&0&0&0\\
0&1&1&-1&\cdots&0&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&0&0&\cdots&1&1&-1\\
0&0&0&0&\cdots&0&1&1
\end{vmatrix},
$$
将其按第一行展开得到
$$
\mathbf F_n=\mathbf F_{n-1}+\mathbf F_{n-2},
$$
令 $\alpha+\beta=1,\alpha\beta=-1$，解得
$$
\alpha=\frac{1+\sqrt 5}{2},\quad\beta=\frac{1-\sqrt 5}{2}.
$$
现在需要计算行列式
$$
\mathbf F_n=\begin{vmatrix}
\alpha+\beta&\alpha\beta&0&0&\cdots&0&0&0\\
1&\alpha+\beta&\alpha\beta&0&\cdots&0&0&0\\
0&1&\alpha+\beta&\alpha\beta&\cdots&0&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&0&0&\cdots&1&\alpha+\beta&\alpha\beta\\
0&0&0&0&\cdots&0&1&\alpha+\beta
\end{vmatrix},
$$
根据 $\bf Lemma\;1$，它是
$$
\mathbf F_n=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha-\beta},
$$
将 $\alpha,\beta$ 代入，即得
$$
\mathbf F_n=\frac{\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt 5}{2}\right)^{n+1}}{\sqrt 5}.
$$
$\bf Example\;5.5.2$（$\boldsymbol n$ **倍角公式，第一类切比雪夫多项式**）$\quad
\cos nx=\begin{vmatrix}
\cos x&1&0&0&\cdots&0&0\\
1&2\cos x&1&0&\cdots&0&0\\
0&1&2\cos x&1&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&0&0&0&\cdots&2\cos x&1\\
0&0&0&0&\cdots&1&2\cos x
\end{vmatrix}_{n\times n}
$$
A_{n+1}=2A_{n}\cos x-A_{n-1}=2\cos nx-\cos(n-1)x=\cos(n+1)x.
$$
同理可以得到 $\sin$ 的 $n$ 倍角公式：
$$
\sin nx=\begin{vmatrix}
\sin x&0&0&0&\cdots&0&0\\
0&2\cos x&1&0&\cdots&0&0\\
0&1&2\cos x&1&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&0&0&0&\cdots&2\cos x&1\\
0&0&0&0&\cdots&1&2\cos x
\end{vmatrix}_{n\times n}
$$
# 叉积与体积
设有三个向量 $\mathbf a=(a_1,a_2,a_3),\mathbf b=(b_1,b_2,b_3),\mathbf c=(c_1,c_3,c_3)$，利用行列式可表示 $\mathbf a,\mathbf b$ 的叉乘和 $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$ 三个向量张成平行六面体的体积。
$$
\begin{aligned}
\mathbf a\times \mathbf b&=(a_1\mathbf e_1+a_2\mathbf e_2+a_3\mathbf e_3)\times (b_1\mathbf e_1+b_2\mathbf e_2+b_3\mathbf e_3)\\
&=(a_2b_3-a_3b_2)\mathbf e_1-(a_1b_3-a_3b_1)\mathbf e_2+(a_1b_2-a_2b_1)\mathbf e_3\\
&=\begin{vmatrix}a_2&b_2\\a_3&b_3\end{vmatrix}\mathbf e_1-
\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_3&b_3\end{vmatrix}\mathbf e_2+
\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}\mathbf e_3\\
&=\begin{vmatrix}\mathbf e_1&\mathbf e_2&\mathbf e_3\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
V&=(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c\\
&=\Bigg|\Bigg(\begin{vmatrix}a_2&b_2\\a_3&b_3\end{vmatrix}\mathbf e_1-
\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_3&b_3\end{vmatrix}\mathbf e_2+
\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}\mathbf e_3\Bigg)\cdot(c_1\mathbf e_1+c_2\mathbf e_2+c_3\mathbf e_3)\Bigg|\\
&=\Bigg|c_1\begin{vmatrix}a_2&b_2\\a_3&b_3\end{vmatrix}-
c_2\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_3&b_3\end{vmatrix}+
c_3\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}\Bigg|\\
&=\left|\begin{vmatrix}
a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3
\end{vmatrix}\right|
\end{aligned}
$$
# 循环矩阵
$\bf Definition\;5.7.1\quad$矩阵 $\bf C$ 代表 $n$ 级**循环位移矩阵**
$$
{\bf C}=\begin{pmatrix}
0&1&0&0&\cdots&0&0\\
0&0&1&0&\cdots&0&0\\
0&0&0&1&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&0&0&0&\cdots&0&1\\
1&0&0&0&\cdots&0&0
\end{pmatrix}.
$$
$\bf Lemma\;5.7.2.
{\bf C}\begin{pmatrix}\delta_1\\\delta_2\\\vdots\\\delta_{n-1}\\\delta_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\delta_{2}\\\delta_3\\\vdots\\\delta_{n}\\\delta_{1}\\\end{pmatrix},\quad(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsymbol\alpha_n){\bf C}=(\boldsymbol\alpha_n,\boldsymbol\alpha_1,\cdots,\boldsymbol\alpha_{n-1})
$$
\begin{pmatrix}
a_{1}&a_{2}&a_{3}&\cdots&a_{n}\\
a_n&a_{1}&a_{2}&\cdots&a_{n-1}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{2}&a_{3}&a_{4}&\cdots&a_{1}
\end{pmatrix}
$$
$\bf Proposition\;5.7.4\quad$设 $n$ 级循环矩阵 $\bf A$，则有
$$
{\boldsymbol A}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}{\bf C}^{k-1}.
$$
$Proof.\quad$考察 ${\bf C}^{l}$ 的形式即可。
从中我们可以认为，$R$ 上 $n$ 级循环矩阵构成的集合（允许系数重复）为矩阵多项式环 $R[\bf C]$。
## 循环矩阵的行列式
现在求 $n$ 级循环矩阵
$$
{\boldsymbol A}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}{\bf C}^{k-1}
$$
的行列式。
令单位根 $\omega=e^{\text i\frac{2\pi}{n}}$，设 $f(x)=a_1+a_2x+\cdots+a_nx^{n-1}$，令
$$
{\boldsymbol B}=
\begin{pmatrix}
1&1&1&\cdots&1\\
1&\omega&\omega^{2}&\cdots&\omega^{n-1}\\
1&\omega^2&\omega^{4}&\cdots&\omega^{2(n-1)}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&\omega^{n-1}&\omega^{2(n-1)}&\cdots&\omega^{(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix},
$$
则
$$
|{\boldsymbol{AB}}|=
\begin{vmatrix}
f(1)&f(\omega)&f(\omega^{2})&\cdots&f(\omega^{n-1})\\
f(1)&\omega f(\omega)&\omega^2 f(\omega^{2})&\cdots&\omega^{n-1}f(\omega^{n-1})\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
f(1)&\omega^{n-1}f(\omega)&\omega^{2(n-1)}f(\omega^{2})&\cdots&\omega^{(n-1)(n-1)}f(\omega^{n-1})
\end{vmatrix}
$$
$$
=f(1)f(\omega)f(\omega^2)\cdots f(\omega^{n-1})\begin{vmatrix}
1&1&1&\cdots&1\\
1&\omega&\omega^{2}&\cdots&\omega^{n-1}\\
1&\omega^2&\omega^{4}&\cdots&\omega^{2(n-1)}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&\omega^{n-1}&\omega^{2(n-1)}&\cdots&\omega^{(n-1)(n-1)}
\end{vmatrix}
$$
$$
=\prod_{k=0}^{n-1}f(\omega^k)\left|{\boldsymbol B}\right|,
$$
从而
$$
\det{\boldsymbol A}=\prod_{k=0}^{n-1}f(\omega^k).
$$