Dinic算法
hkr04
2020-02-09 18:07:49
时间复杂度:$O(n^2m)$，实际运用远达不到这个上界，一般能处理$10^4$~$10^5$规模的网络。
怎么实现呢？
1. 在残量网络上使用BFS构造分层图
2. 在分层图上使用DFS尝试寻找增广路，并且实时更新每条边的容量
3. 重复执行1.2直到分层图中s不能到达t（没有增广路）为止
在优化$\text{BFS}$次数之后，我们还可以进行优化——**当前弧优化**。
对于在不同的分层图进行$\text{DFS}$的过程中，不重复走之前走过的**满流**的边，因为再走下去终究会卡住，是白做工。可以用一个数组$\text{cur}$记录一下当前点更新到哪条边了，具体看代码。
```cpp
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn=10000+10;
const int maxm=100000+10;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int cur[maxn],head[maxn],nxt[maxm<<1],to[maxm<<1],val[maxm<<1];//因为还要存反向边，所以要开两倍
int dep[maxn],inq[maxn];
int n,m,s,t;
int tot=1;
struct Queue
{
int a[maxn];
int l,r;
Queue() {l=1,r=0;}
void push(int x) {a[++r]=x;}
void pop() {l++;}
int front() {return a[l];}
bool empty() {return l>r;}
}q;
inline int min(int x,int y) {return x<y?x:y;}
void add(int u,int v,int w)
{
nxt[++tot]=head[u];
head[u]=tot;
to[tot]=v;
val[tot]=w;
}
bool bfs()
{
memset(dep, 0x3f, sizeof(dep));
dep[s]=0;
q=Queue();
q.push(s);
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
for (int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=to[i];//通向的点
if (val[i]&&dep[v]>dep[u]+1)//如果容量不为0且在u点之前还没有被搜到
{
dep[v]=dep[u]+1;
q.push(v);
}
}
}
return dep[t]<INF;//只要汇点被搜到了，就还有增广路
}
int dfs(int u,int minf)//当前位置和目前搜到的最小剩余容量
{
if (u==t)//到达汇点
return minf;//返回值不为0即说明可以增广
int used=0;//该点已经使用了的流量
for (int &i=cur[u];i;i=nxt[i])//这里取址是顺便更新cur
{
int v=to[i];
if (val[i]&&dep[v]==dep[u]+1)
{
int flow=dfs(v, min(minf-used, val[i]));//能流到t的流量
if (flow)
{
used+=flow;
val[i]-=flow;
val[i^1]+=flow;
if (used==minf)//该点已达最大流量，不用继续找了
break;
}
}
}
return used;//返回该点已使用流量
}
int main()
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
for (int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
add(u, v, w),add(v, u, 0);
}
int flag=0,maxflow=0;
while(bfs())
{
for (int i=1;i<=n;i++)//新的分层图要重新开始
cur[i]=head[i];
maxflow+=dfs(s, INF);
}
printf("%d\n",maxflow);
return 0;
}
```