正多面体

我们定义施莱夫利符号 \{m,n\} 为每个面都是正 m 边形，每个顶点有 n 条棱的正多面体。

我们知道，正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，如下表所示：

种类	面数 F	棱数 E	点数 V
正四面体 \{3,3\}	4	6	4
正六面体 \{4,3\}	6	12	8
正八面体 \{3,4\}	8	12	6
正十二面体 \{5,3\}	12	30	20
正二十面体 \{3,5\}	20	30	12

顶点坐标

有了顶点坐标和棱长，边和面可以直接爆搜。

正四面体 \{3,3\}：

(0,0,0),(1,0,0),\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2,0\right),\left(\frac12,\frac{\sqrt3}6,\frac{\sqrt6}3\right)

棱长为 1。

\left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}6,-\frac{\sqrt6}{12}\right),\left(\frac12,-\frac{\sqrt3}6,-\frac{\sqrt6}{12}\right),\left(0,\frac{\sqrt3}3,-\frac{\sqrt6}{12}\right),\left(0,0,\frac{\sqrt6}4\right)

棱长为 1。

(1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1),(1,-1,-1)

棱长为 \sqrt8。

正六面体 \{4,3\}：

(\pm1,\pm1,\pm1)

棱长为 2。

正八面体

(\pm1,0,0)

的全排列，棱长为 \sqrt2。

正十二面体

(\pm1,\pm1,\pm1),\left(0,\pm\phi,\pm\frac1\phi\right),\left(\pm\frac1\phi,0,\pm\phi\right),\left(\pm\phi,\pm\frac1\phi,0\right)

其中 \phi=\dfrac{1+\sqrt5}2，棱长为 \sqrt5-1。

正二十面体

(\pm\phi,\pm1,0)

的所有偶排列，其中 \phi=\dfrac{1+\sqrt5}2，棱长为 2。

二面角 \theta

考虑正多面体 \{m,n\}，我们对一个顶点切一刀可以切出一个正 n 边形，以 \{3,5\} 举个例子：

其中 CF\perp OA\perp BC，O 为 \{m,n\} 的一个顶点。

显然有 \angle AOB=\angle AOF=\dfrac{m-2}m\pi,\angle AO'B=\angle AO'F=\dfrac{2\pi}n。

我们要求 \angle FCB。

不妨设 O'A=1，则显然有 AB=AF=2\sin\dfrac\pi n，由余弦定理可知 BF=4\sin\dfrac\pi n\cos\dfrac\pi n。

考虑 \triangle FOA，由于 \angle FOA=\dfrac{m-2}m\pi，可以得到 OA=\dfrac12AF\csc\left(\dfrac{m-2}{2m}\pi\right)=\sin\dfrac\pi n\csc\left(\dfrac{m-2}{2m}\pi\right)，AF 上的高 h_1=\dfrac12AF\cot\left(\dfrac{m-2}{2m}\pi\right)=\sin\dfrac\pi n\cot\left(\dfrac{m-2}{2m}\pi\right)。

所以我们有 CF=\dfrac{AF\cdot h_1}{OA}=2\sin\dfrac\pi n\sin\dfrac\pi m。

那么我们就有 \sin\dfrac{F-OA-B}2=\cos\dfrac\pi n\csc\dfrac\pi m。

即：\{m,n\} 的二面角为 2\arcsin\left(\cos\dfrac\pi n\csc\dfrac\pi m\right)。

那么我们就有：

1. 正四面体 \{3,3\}：\theta=2\arcsin\dfrac{\sqrt3}3\approx70.53\degree。
2. 正六面体 \{4,3\}：\theta=2\arcsin\dfrac{\sqrt2}2=90\degree。
3. 正八面体 \{3,4\}：\theta=2\arcsin\dfrac{\sqrt6}3\approx109.47\degree。
4. 正十二面体 \{5,3\}：\theta=2\arcsin\dfrac{\sqrt{50+10\sqrt5}}{10}\approx116.57\degree。
5. 正二十面体 \{3,5\}：\theta=2\arcsin\dfrac{1+\sqrt5}{2\sqrt3}\approx138.19\degree。

算体积需要用的东西：

1. 正四面体 \{3,3\}：\tan\dfrac\theta2=\dfrac{\sqrt2}2。
2. 正六面体 \{4,3\}：\tan\dfrac\theta2=1。
3. 正八面体 \{3,4\}：\tan\dfrac\theta2=\sqrt2。
4. 正十二面体 \{5,3\}：\tan\dfrac\theta2=\dfrac{1+\sqrt5}2。
5. 正二十面体 \{3,5\}：\tan\dfrac\theta2=\dfrac{3+\sqrt5}2。

体积

表面积过于弱智，就不写了。

假设你有一个边长为 a 的正多面体 \{m,n\}，则其一个面的面心距为 h_1=\dfrac12a\cot\dfrac\pi m，正多面体的面心距为 h_2=\dfrac12a\cot\dfrac\pi m\tan\dfrac\theta2，其中 \theta 为该正多面体的面心距。

由小学数学可知该正多面体每个面的面积为 S=m\cdot\dfrac12h_1a=\dfrac14a^2m\cot\dfrac\pi m。

所以每个面所对棱锥的体积为 V_1=\dfrac13Sh_2=\dfrac1{24}a^3m\cot^2\dfrac\pi m\tan\dfrac\theta2。

因此，正多面体 \{m,n\} 的体积为 V=FV_1=\dfrac1{24}Fa^3m\cot^2\dfrac\pi m\tan\dfrac\theta2，其中 F 为该正多面体的面数。

然后硬算就有：

1. 正四面体 \{3,3\}：V=\dfrac{\sqrt2}{12}a^3。
2. 正六面体 \{4,3\}：V=a^3。
3. 正八面体 \{3,4\}：V=\dfrac{\sqrt2}3a^3。
4. 正十二面体 \{5,3\}：V=\dfrac{15+7\sqrt5}4a^3。
5. 正二十面体 \{3,5\}：V=\dfrac{15+5\sqrt5}{12}a^3。

内切球、棱切球、外接球半径以及圆度

用顶点坐标爆算即可得到：

1. 棱长为 a 的正四面体 \{3,3\}：内切球半径 \dfrac{\sqrt6}{12}a，棱切球半径 \dfrac{\sqrt2}4a，外接球半径 \dfrac{\sqrt6}4a。
2. 棱长为 a 的正六面体 \{4,3\}：内切球半径 \dfrac12a，棱切球半径 \dfrac{\sqrt2}2a，外接球半径 \dfrac{\sqrt3}2a。
3. 棱长为 a 的正八面体 \{3,4\}：内切球半径 \dfrac{\sqrt6}6a，棱切球半径 \dfrac12a，外接球半径 \dfrac{\sqrt2}2a。
4. 棱长为 a 的正十二面体 \{5,3\}：内切球半径 \dfrac{\sqrt{250+110\sqrt5}}{20}a，棱切球半径 \dfrac{3+\sqrt5}4a，外接球半径 \dfrac{\sqrt3+\sqrt{15}}4a。
5. 棱长为 a 的正十二面体 \{3,5\}：内切球半径 \dfrac{3\sqrt3+\sqrt{15}}{12}a，棱切球半径 \dfrac{1+\sqrt5}4a，外接球半径 \dfrac{\sqrt{10+2\sqrt5}}4a。

一个正多面体圆度的定义是该正多面体体积除以外接球体积乘 100\%。

半正多面体

半正多面体是用两种及以上正多边形拼起来的多面体，且每个顶点和延伸出的棱全等。

我们通常用一个顶点周围的正多边形边数表示一个半正多面体，半正多面体有无穷多个，包括无限种正棱柱、无限种正反棱柱和 13 种阿基米德多面体。

阿基米德多面体有以下 13 种：

3,6,6

名称：

• Truncated Tetrahedron
• 截角正四面体

构造：

拿一个正四面体，每个角都切掉 \dfrac13 倍棱长。

顶点坐标：

\begin{bmatrix}\dfrac13&0&0\\\dfrac23&0&0\\\dfrac16&\dfrac{\sqrt3}6&0\\\dfrac13&\dfrac{\sqrt3}3&0\\\dfrac56&\dfrac{\sqrt3}6&0\\\dfrac23&\dfrac{\sqrt3}3&0\\\dfrac16&\dfrac{\sqrt3}{18}&\dfrac{\sqrt6}9\\\dfrac13&\dfrac{\sqrt3}9&\dfrac{2\sqrt6}9\\\dfrac56&\dfrac{\sqrt3}{18}&\dfrac{\sqrt6}9\\\dfrac23&\dfrac{\sqrt3}9&\dfrac{2\sqrt6}9\\\dfrac12&\dfrac{7\sqrt3}{18}&\dfrac{\sqrt6}9\\\dfrac12&\dfrac{5\sqrt3}{18}&\dfrac{2\sqrt6}9\end{bmatrix}

棱长为 \dfrac13。

演示：

Truncated Tetrahedron

3,4,3,4

名称：

• Cuboctahedron
• Rhombitetratetrahedron
• Triangular Gyrobicupola
• 截半正六面体

构造：

拿一个正六面体，每个角切掉 \dfrac12 倍棱长。

顶点坐标：

取正六面体每条棱的中点即可，棱长为原正六面体的 \dfrac{\sqrt2}2，比如：

(\pm1,\pm1,0)

的全排列，棱长为 \sqrt2。

演示：

Cuboctahedron

3,8,8

名称：

• Truncated Cube
• 截角正六面体

构造：

拿一个正六面体，每个角切掉 \dfrac{2-\sqrt2}2 倍棱长。

顶点坐标：

设正六面体棱长为 a，切掉正六面体 x，则有：

\sqrt2x=a-2x

解得：

x=\frac{2-\sqrt2}2a

那么每条棱会剩下 \sqrt2-1，如果令 a=2，我们可以得到一种顶点坐标为：

\left(\pm1,\pm1,\pm\left(\sqrt2-1\right)\right)

的全排列。

演示：

Truncated Cube

4,6,6

名称：

• Truncated Octahedron
• Truncated Tetratetrahedron
• 截角正八面体

构造：

拿一个正八面体，每个角切掉 \dfrac13 倍棱长。

顶点坐标：

取正八面体每条棱的三等分点即可，比如：

(0,\pm1,\pm2)

棱长为 \sqrt2。

演示：

Truncated Octahedron

3,4,4,4

名称：

• (Small) Rhombicuboctahedron
• Elongated Square Orthobicupola
• 小斜方截半正六面体

构造：

拿一个正六面体，每个面向外拉伸 \dfrac{\sqrt2}2 倍棱长，然后用正四边形和正三边形填充空隙。

顶点坐标：

设棱长为 2，可以得到一组顶点坐标为：

\left(\pm1,\pm1,\pm\left(1+\sqrt2\right)\right)

的全排列，棱长为 2。

演示：

Rhombicuboctahedron

4,6,8

名称：

• Truncated Cuboctahedron
• Great Rhombicuboctahedron
• 大斜方截正六面体

构造：

拿一个小斜方截半立方体，将每个连接正三边形的正四边形向外拉伸一倍棱长，用正六边形和正八边形填充空隙。

顶点坐标：

\left(\pm1,\pm\left(1+\sqrt2\right),\left(1+2\sqrt2\right)\right)

棱长为 2。

演示：

Truncated Cuboctahedron

3,3,3,3,4

由于这个东西有手性，我们规定采用左手坐标系。

名称：

• Snub Cube
• Snub Cuboctahedron
• 扭棱正六面体

构造：

拿一个正六面体，每个面向外拉伸，然后逆时针旋转旋转，使得剩下的空隙能够用正三边形填充。

顶点坐标：考虑一个棱长为 1 的扭棱正方体，考虑其包围盒和其一个正方形面：

其中 d_1\ge d_2。

考虑两个相邻的面：

那么我们只需要 F_1F_2^2=F_1G_2^2=1 就行了，表示出来：

F_1F_2^2=d_1^2+d_2^2+(d_1-d_2)^2=1 F_1G_2^2=2d_2^2+\left(\sqrt{1-(d_1-d_2)^2}-(d_1-d_2)\right)^2=1

对第二个方程进行变换：

2d_2^2+1-(d_1-d_2)^2-2(d_1-d_2)\sqrt{1-(d_1-d_2)^2}+(d_1-d_2)^2=1 2(d_1-d_2)\sqrt{1-(d_1-d_2)^2}=2d_2^2

平方：

4(d_1-d_2)^2(1-(d_1-d_2)^2)=4d_2^4 4(d_1-d_2)^2-4(d_1-d_2)^4=4d_2^4 d_2^4+(d_1-d_2)^4-(d_1-d_2)^2=0

由第一个方程可以得到 (d_1-d_2)^2=1-d_1^2-d_2^2，代入：

d_2^4+(1-d_1^2-d_2^2)^2-(1-d_1^2-d_2^2)=0 d_2^4+1-2d_1^2-2d_2^2+d_1^4+2d_1^2d_2^2+d_2^4-1+d_1^2+d_2^2=0 d_1^4+2d_1^2d_2^2+2d_2^4-d_1^2-d_2^2=0 2d_1^4+4d_1^2d_2^2+4d_2^4-2d_1^2-2d_2^2=0 4d_1^4+8d_1^2d_2^2+4d_2^4-2d_1^2-2d_2^2-4d_1^2d_2^2-2d_1^4=0 4(d_1^2+d_2^2)^2-2d_1^2-2d_2^2-4d_1^2d_2^2-2d_1^4=0

然后对第一个方程进行变换：

d_1^2+d_2^2+d_1^2-2d_1d_2+d_2^2=1 2(d_1^2+d_2^2)=2d_1d_2+1 2d_1d_2=2d_1^2+2d_2^2-1 4d_1^2d_2^2=(2d_1^2+2d_2^2-1)^2

代入：

(2d_1d_2+1)^2-2d_1^2-2d_2^2-4d_1^2d_2^2-2d_1^4=0 4d_1^2d_2^2+4d_1d_2+1-2d_1^2-2d_2^2-4d_1^2d_2^2-2d_1^4=0 4d_1d_2+1-2d_1^2-2d_2^2-2d_1^4=0 4(d_1^2+d_2^2)-2+1-2d_1^2-2d_2^2-2d_1^4=0 2d_1^2+2d_2^2-1-2d_1^4=0

即：

d_2^2=\frac12+d_1^4-d_1^2 2d_1^2+2d_2^2=1+2d_1^4

代入 4d_1^2d_2^2=(2d_1^2+2d_2^2-1)^2：

4d_1^2\left(\frac12+d_1^4-d_1^2\right)=(1+2d_1^4-1)^2 2d_1^2+4d_1^6-4d_1^4=4d_1^8 4d_1^8-4d_1^6+4d_1^4-2d_1^2=0 d_1^6-d_1^4+d_1^2-\frac12=0

套求根公式，解得：

d_1^2=\frac13+\sqrt[3]{\frac{13}{108}+\sqrt{\frac{11}{432}}}+\sqrt[3]{\frac{13}{108}-\sqrt{\frac{11}{432}}}

代入 d_2^2=\dfrac12+d_1^4-d_1^2 中：

\begin{aligned}d_2^2&=\frac12+\left(\frac13+\sqrt[3]{\frac{13}{108}+\sqrt{\frac{11}{432}}}+\sqrt[3]{\frac{13}{108}-\sqrt{\frac{11}{432}}}\right)^2-\left(\frac13+\sqrt[3]{\frac{13}{108}+\sqrt{\frac{11}{432}}}+\sqrt[3]{\frac{13}{108}-\sqrt{\frac{11}{432}}}\right)\\&=\frac12+\frac19+\frac23\sqrt[3]{\frac{13}{108}+\sqrt{\frac{11}{432}}}+\frac23\sqrt[3]{\frac{13}{108}-\sqrt{\frac{11}{432}}}+\sqrt[3]{\frac{233}{5832}+\frac{13}{54}\sqrt{\frac{11}{432}}}-\frac49+\sqrt[3]{\frac{233}{5832}-\frac{13}{54}\sqrt{\frac{11}{432}}}-\frac13+\sqrt[3]{\frac{13}{108}-\sqrt{\frac{11}{432}}}-\sqrt[3]{\frac{13}{108}-\sqrt{\frac{11}{432}}}\\&=-\frac16+\sqrt[3]{\frac{17}{216}+\sqrt{\frac{11}{1728}}}-\sqrt[3]{-\frac{17}{216}+\sqrt{\frac{11}{1728}}}\end{aligned}

这样就可以得到包围盒的棱长为：

d_1+d_2+\sqrt{1-(d_1-d_2)^2}=\sqrt{\frac{4+\sqrt[3]{199+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{199-3\sqrt{33}}}3}

顶点坐标就容易得到了。

演示：

Snub Cube

3,5,3,5

名称：

• Icosidodecahedron
• Pentagonal Gyrobirotunda
• 截半正十二面体

构造：

拿一个正十二面体，每个角切掉棱长的 \dfrac12。

顶点坐标：

取正十二面体每条棱的中点即可，比如这个：

(0,0,\pm\phi),\left(\pm\frac12,\pm\frac{\phi}2,\pm\frac{\phi^2}2\right)

的所有偶排列，棱长为 1。

演示：

Icosidodecahedron

3,10,10

名称：

• Truncated Dodecahedron
• 截角正十二面体

构造：

拿一个正十二面体，每个角切掉棱长的 \dfrac12。

顶点坐标：

和截角正六面体一样可以算出应该切掉多少，取棱长为 6-2\phi 的正十二面体切出来的顶点为：

\left(0,\pm\frac1\phi,\pm(2+\phi)\right),\left(\pm\frac1\phi,\pm\phi,\pm2\phi\right),\left(\pm\phi,\pm2,\pm(1+\phi)\right)

的所有偶排列，棱长为 2\phi-2。

演示：

Truncated Dodecahedron

5,6,6

名称：

• Truncated Icosahedron
• 截角正二十面体（足球）

构造：

拿一个正二十面体，每个角切掉棱长的 \dfrac13。

顶点坐标：

取每条棱的三等分点即可，取棱长为 6 的正十二面体切出来的顶点为：

(0,\pm1,\pm3\phi),(\pm1,\pm(2+\phi),\pm2\phi),(\pm\phi,\pm2,\pm(2\phi+1))

的全部偶排列，其中 \phi=\dfrac{1+\sqrt5}2，棱长为 2。

3,4,5,4

名称：

• Rhombicosidodecahedron
• Small Rhombicosidodecahedron
• 小斜方截半正二十面体

4,6,10

名称：

• Truncated Icosidodecahedron
• Great Rhombicosidodecahedron
• 大斜方截半正二十面体

3,3,3,3,5

名称：

• Snub Dodecahedron
• Snub Icosidodecahedron
• 扭棱正十二面体

正多胞体

https://polytope.miraheze.org/wiki/Main_Page

正多胞体也有施莱夫利符号 \{m,n,p\}，其中，\{m,n\} 为组成该正多胞体的正多面体，p 为该正多胞体每一条棱周围的胞数，\{n,p\} 为其顶点图。

正多胞体共有六种，具体证明可以使用四维空间中的欧拉公式：

名称	胞数 C	面数 F	棱数 E	点数 V	三维类似物
正五胞体 \{3,3,3\}	5	10	10	5	正四面体
正八胞体 \{4,3,3\}	8	24	32	16	正六面体
正十六胞体 \{3,3,4\}	16	32	24	8	正八面体
正二十四胞体 \{3,4,3\}	24	96	96	24	菱形十二面体
正一百二十胞体 \{5,3,3\}	120	720	1200	600	正十二面体
正六百胞体 \{3,3,5\}	600	1200	720	120	正二十面体

附：菱形十二面体的构造方法。

首先那一个正六面体，设其顶点坐标为 (\pm1,\pm1,\pm1)，然后取其每个面的中点 (\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0\pm1)，然后向外拉伸直到每条棱对应的两个面对应的两个点和这条棱的两个顶点共面，此时这些点的坐标为 (\pm2,0,0),(0,\pm2,0),(0,0,\pm2)。

二胞角

类似二面角，我们可以定义二胞角，用类似的方法可以算出 \{m,n,p\} 的二胞角 \theta 为 2\arcsin\left(\cos\dfrac\pi p\sec\dfrac{\theta_{\{m,n\}}}2\right)=2\arcsin\dfrac{\cos\frac\pi p}{\sqrt{1-\cos^2\frac\pi n\csc^2\frac\pi m}}。

那么我们就可以得到：

1. 正五胞体 \{3,3,3\}：\theta=2\arcsin\dfrac{\sqrt6}4=2\arctan\dfrac{\sqrt{15}}5\approx75.52\degree。
2. 正八胞体 \{4,3,3\}：\theta=2\arcsin\dfrac{\sqrt{2}}2=2\arctan1=90\degree。
3. 正十六胞体 \{3,3,4\}：\theta=2\arcsin\dfrac{\sqrt3}2=2\arctan\sqrt3=120\degree。
4. 正二十四胞体 \{3,4,3\}：\theta=2\arcsin\dfrac{\sqrt3}2=2\arctan\sqrt3=120\degree。
5. 正一百二十胞体 \{5,3,3\}：\theta=2\arcsin\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt5}}4=2\arctan\sqrt{5+2\sqrt5}=144\degree。
6. 正六百胞体 \{3,3,5\}：\theta=2\arcsin\dfrac{\sqrt6+\sqrt{30}}8=2\arctan\sqrt{27+12\sqrt5}=164.48\degree。

超体积

表面积和体积（所有胞体积之和）太弱智，就不说了。

还是同样的套路，将正多胞体 \{m,n,p\} 分解为很多超锥体，其中每个超锥体的底胞是组成该正多胞体的正多面体，超高是胞心距。

同样的套路，我们根据二胞角和每个胞的面心距求出每个超锥的超高：

h_3=h_2\tan\frac{\theta_{\{m,n,p\}}}2=\dfrac12a\cot\frac\pi m\tan\frac{\theta_{\{m,n\}}}2\tan\frac{\theta_{\{m,n,p\}}}2

容易得出超锥的体积公式：

HV_1=\frac14Vh_3=\frac1{192}a^4Fm\cot^3\frac\pi m\tan^2\frac{\theta_{\{m,n\}}}2\tan\frac{\theta_{\{m,n,p\}}}2

（HV 是 hyper volume 的缩写）

那么我们就有正多胞体 \{m,n,p\} 的超体积为：

HV=CHV_1=\frac1{192}a^4CFm\cot^3\frac\pi m\tan^2\frac{\theta_{\{m,n\}}}2\tan\frac{\theta_{\{m,n,p\}}}2

其中 C 为胞数，F 为每个胞的面数，一（yong）通（ji）爆（suan）算（qi）就可以得到：

1. 正五胞体 \{3,3,3\}：HV=\dfrac{\sqrt5}{94}a^4。
2. 正八胞体 \{4,3,3\}：HV=a^4。
3. 正十六胞体 \{3,3,4\}：HV=\dfrac16a^4。
4. 正二十四胞体 \{3,4,3\}：HV=2a^4。
5. 正一百二十胞体 \{5,3,3\}：HV=\dfrac{1575+705\sqrt5}4a^4\approx787.86a^4。
6. 正六百胞体 \{3,3,5\}：HV=\dfrac{50+25\sqrt5}4a^4\approx26.48a^4。

顶点坐标

正五胞体：\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\\dfrac12&\dfrac{\sqrt3}2&0&0\\\dfrac12&\dfrac{\sqrt3}6&\dfrac{\sqrt6}3&0\\\dfrac12&\dfrac{\sqrt3}6&\dfrac{\sqrt6}{12}&\dfrac{\sqrt{10}}4\end{bmatrix}，棱长为 1。

正八胞体：(\pm1,\pm1,\pm1,\pm1)，棱长为 2。

正十六胞体：(\pm1,0,0,0) 的全排列，棱长为 \sqrt2。

正二十四胞体：(\pm2,0,0,0) 的全排列和 (\pm1,\pm1,\pm1,\pm1)，棱长为 2；(\pm1,\pm1,0,0) 的全排列，棱长为 \sqrt2。

正一百二十胞体：

其中 \phi=\dfrac{\sqrt5+1}2，偶排列是指逆序对个数为偶数的排列，排列长度为 4 时共有这些：

\begin{matrix}(1,2,3,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(2,1,4,3)\\(2,3,1,4),(2,4,3,1),(3,1,2,4),(3,2,4,1)\\(3,4,1,2),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,3,2,1)\end{matrix}

棱长为 3-\sqrt5。

正六百胞体：

其中 \phi=\dfrac{\sqrt5+1}2，棱长为 \dfrac2\phi=\sqrt5-1。

更高的维度？

正多胞体

可以证明，在 5 维及以上的 n 维空间中，正多胞体只有三种：

1. 正 n+1 胞体（或单形）：类似正四面体和正五胞体。
2. 正 2n 胞体：类似正六面体和正八胞体。
3. 正 2^n 胞体（或正轴形）：类似正八面体和正十六胞体。

https://pan.baidu.com/s/1s3TelZuiVI1DXs3qHuGpig?pwd=bnjb

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