题解：P7789 [COCI2016-2017#6] Sirni

很明显这题要我们求的是最小生成树，不过 n\le 10^5，显然不能暴力连边，我们考虑优化建图。

首先我们先把序列的数去重，因为相同的数可以向另一个和自己相同的数连一条边权为 0 的边，去掉没有任何影响。

我们连边肯定是从大的数连向小的数，因为大的数模小的数是显然优于小的数模大的数的，于是我们把数组从小到大排序。

对于一个 a_i，我们枚举它的倍数，对于一个正整数 k，将每一个在 [k\times a_i,(k+1)\times a_i) 中且最小的数向 i 连一条边，边权即为它模上 a_i，可以证明这样建出来的图最后一定是联通的，且一定是最优的，因为对于两个数 k\times x\le a < b \le (k+1)\times x，一定有 a\bmod x<b\bmod x。

连完之后跑最小生成树即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);++i)
#define per(i,l,r) for(int i=(r);i>=(l);--i)
#define pr pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

#define N 101145
//#define int long long

int n,a[N];
const int lim=1e7;
set<int>s;

struct edge{
    int u,v,w;
    edge(int a,int b,int c){u=a,v=b,w=c;}
};
vector<edge>e;

inline bool cmp(edge x,edge y){
    return x.w<y.w;
}

struct DSU{
    int fa[N];

    inline void init(){
        rep(i,1,n){
            fa[i]=i;
        }
    }

    inline int ask(int k){
        if(k==fa[k]){
            return fa[k];
        }
        return fa[k]=ask(fa[k]);
    }

    inline void mg(int x,int y){
        //y<-x
        int fx=ask(x),fy=ask(y);
        if(fx==fy)return;

        fa[fx]=fy;
    }
}b;

inline long long kruskal(){
    int cnt=0;
    long long ans=0;
    b.init();

    for(edge x:e){
        int u=x.u,v=x.v,w=x.w;

        if(b.ask(u)==b.ask(v)){
            continue;
        }

        ans+=w;
        cnt++;

        b.mg(u,v);

        if(cnt==n-1){
            break;
        }
    }

    return ans;
}

signed main(){
//  freopen(".in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);

    cin>>n;
    rep(i,1,n){
        cin>>a[i];
        s.insert(a[i]);
    }

    int cnt=0;
    for(int x:s){
        a[++cnt]=x;
    }
    n=cnt;

    /*
    a>b
    max(a%b)=b-1
    b%a=b
    */

    sort(a+1,a+1+n);

    rep(i,1,n){
        int l=a[i];

        while(l<=lim){
            int r=min(l+a[i],lim);

            int id=lower_bound(a+i+1,a+n+1,l)-a;
            if(a[id]<r&&id!=n+1){
                e.push_back(edge(i,id,a[id]%a[i]));
            }

            l+=a[i];
        }
    }

    sort(e.begin(),e.end(),cmp);

    cout<<kruskal();

    return 0;
}