求助一个数学题

学术版

bsdsdb @ 2024-11-28 16:50:15

有一些函数 T，满足，\forall j\le 1,y\in(0,1):T_y(j)=1,\forall y\in(0,1):T_y(x):=T_y(xy)+T_y(x-xy)+1，求哪个/些 y 能使得 \lim_{x\rightarrow+\infty}T_y(x) 的阶最小

by InQueue @ 2024-11-28 16:56:57

这是今天 T4 吗，怎么还和阶扯上关系了？

by bsdsdb @ 2024-11-28 16:57:29

@InQueue 不是，自己想的

by ljmmmmm @ 2024-11-28 16:58:03

任何y 在(0.5,1) 的范围内都可以是一个合适的选择

by InQueue @ 2024-11-28 16:58:33

@bsdsdb 哦哦，有点像

by ljmmmmm @ 2024-11-28 17:03:43

选择y 应该接近 1，以最小化lim x→+∞ T y (x) 的阶

选择1−y，尤其在 y 较小的时候，递归深度增加，导致 T y (x) 增长更快

by bsdsdb @ 2024-11-28 18:11:27

@ljmmmmm 转人工

by ljmmmmm @ 2024-11-28 19:01:47

@bsdsdb

从数学上看，选择y 和选择1−y 的效果不完全相同，尤其是在影响递归深度和最终结果的增速上。实际上， Ty 和 T1−y 可能会呈现出不同的增长级别

by bsdsdb @ 2024-11-28 19:22:49

@ljmmmmm 转人工

by ljmmmmm @ 2024-11-28 21:31:05

@bsdsdb

当选择 y 较大（接近 1）时，xy 也会较大，使得 x−xy 较小。这会导致

--- 当选择 $1−y$ ，实际上可以让递归关系同样适用，因为 $T 1−y(x)$ 也是在 $(0,1)$ 的范围中，但其行为会有所不同。选择$1−y$ 接近$ 1$ 时（即 $y$ 接近 $0$），而此时 $xy$ 会非常小，$x−xy$ 保持接近 $x$，因此递归会更深入，导致 $T 1−y(x)$ 增长较快，或者说阶数更高

by bsdsdb @ 2024-11-28 21:33:46

@ljmmmmm 学术版底下就发这种东西，你这个应该快到举报的标准了

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