本人幼儿园，小学数学题求助

reclusive @ 2024-11-29 22:25:17

by dg114514 @ 2024-11-29 22:35:26

《幼儿园橙名绿勾》

by ssdhnd @ 2024-11-29 23:15:08

@reclusive

AI曰：

by ssdhnd @ 2024-11-29 23:19:16

证明：AI说的

1. 首先分析表达式中的符号含义：
   • 表达式中的求和符号 \displaystyle\sum 是对 i 从 1 到 n 进行求和，而对于每一个 i，连乘符号 \prod 是对 j 从 1 到 i 进行连乘。
2. 展开表达式来看：
   • 当 n = 1 时，表达式为 \displaystyle\sum_{i = 1}^{1} \prod_{j = 1}^{1} \gcd(1, 1)，即 \gcd(1, 1)=1。
   • 当 n = 2 时，表达式为 \displaystyle\sum_{i = 1}^{2} \prod_{j = 1}^{i} \gcd(i, j)：
     • 当 i = 1 时，\displaystyle\prod_{j = 1}^{1} \gcd(1, 1)=1。
     • 当 i = 2 时，\displaystyle\prod_{j = 1}^{2} \gcd(2, j)=\gcd(2, 1) \times \gcd(2, 2)=1\times2 = 2。
     • 所以当 n = 2 时，结果为 1+2=3。
3. 一般地，对于给定的 n：
   • 我们需要对每一个 i（从 1 到 n）计算 \displaystyle\prod_{j = 1}^{i} \gcd(i, j)，然后将这些结果相加。
   • 由于 \gcd(i, i)=i，\gcd(i, 1)=1，对于每一个 i，连乘的结果是 1\times\cdots\times(i - 1)\times i（如果 i > 1），如果 i = 1，结果为 1。
   • 所以可以简化为 \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} i!（i! 表示 i 的阶乘）。