超时代码求改QWQ（新手已死亡）为啥string会超时啊？

用的string，改过数组大小（都改成了20），但是连1*2都算不出来

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
string s1="";
string s2="";
int a[100010]={0};
int b[100010]={0};
int c[10001000]={0};
int main(){
    cin>>s1>>s2;
    for (int i=0;i<s1.size();i++){
        a[i]=s1[s1.size()-1-i]-48;
    }
    for (int i=0;i<s2.size();i++){
        b[i]=s2[s2.size()-1-i]-48;
    }   
    for (int i=0;i<s2.size();i++){
        for (int j=0;j<s1.size();i++){
            c[j+i]=c[j+i]+a[j]*b[i];
            if (c[j+i]>=10){
                c[j+i+1]+=c[j+i]/10;
                c[j+i]=c[j+i]%10;
            }
        }
    }
    int index=0;
    int len=s1.size()+s2.size();
    for (int i=len-1;i>0;i--){
        if (c[i]!=0){
            index=i;
            break;
        }
    }
    for (int i=index;i>=0;i--){
        cout<<c[i];
    }   
}