feicheng @ 2021-09-12 15:20:30
这是一个单人游戏。
游戏开始时，玩家控制的人物出生在迷宫的某个位置，玩家的目标是控制人物走到迷宫的某个出口（出口可能有多个）。
迷宫里有 A,B,C……表示，相同字母代表相同类型的陷阱），每类陷阱可能是有害的或无害的，而在游戏开始时玩家并不知道哪些陷阱是有害的，哪些是无害的。
同一类陷阱的状态相同，即用同一个字母标志的陷阱要么全部有害，要么全部无害，不会发生一部分有害而另一部分无害的情况。任何陷阱状态的组合都有一个发生概率，考虑下例：
当 A 和 B 表示，陷阱状态的组合共有
A 是无害陷阱，B 是无害陷阱。A 是有害陷阱，B 是无害陷阱；A 是无害陷阱，B 是有害陷阱；A 是有害陷阱，B 是有害陷阱；下列表格是一个合法的概率表格：
A 是无害陷阱 |
A 是有害陷阱 |
|
|---|---|---|
B 是无害陷阱 |
||
B 是有害陷阱 |
当
向右边走，经过 B ，B 为有害陷阱的概率为 B 为有害陷阱那么人物就死掉了，游戏失败，否则玩家得知 B 是无害陷阱，继续经过另一个 B 达到终点，胜利的概率为
向左边走，经过 A，A 为有害陷阱的概率为 A 为有害陷阱，那么损失一点生命，转到右边尝试 B ，要想成功到达终点，此时 B 必须为无害陷阱，而在 A是有害陷阱的前提下，B 是无害陷阱的概率是 A是无害陷阱，玩家可以控制人物连续通过两个 A 到达终点，这种情况发生的概率
玩家控制的人物有
by feicheng @ 2021-09-12 15:21:02
## 题目描述
这是一个单人游戏。
游戏开始时，玩家控制的人物出生在迷宫的某个位置，玩家的目标是控制人物走到迷宫的某个出口（出口可能有多个）。
迷宫里有 $k$ 类陷阱（用 `A`,`B`,`C`……表示，相同字母代表相同类型的陷阱），每类陷阱可能是有害的或无害的，而在游戏开始时玩家并不知道哪些陷阱是有害的，哪些是无害的。
同一类陷阱的状态相同，即用同一个字母标志的陷阱要么全部有害，要么全部无害，不会发生一部分有害而另一部分无害的情况。任何陷阱状态的组合都有一个发生概率，考虑下例：
当 $k=2$ 时，迷宫内共有两类陷阱，分别用 `A` 和 `B` 表示，陷阱状态的组合共有 $4$ 种：-
- `A` 是无害陷阱，`B` 是无害陷阱。
- `A` 是有害陷阱，`B` 是无害陷阱；
- `A` 是无害陷阱，`B` 是有害陷阱；
- `A` 是有害陷阱，`B` 是有害陷阱；
下列表格是一个合法的概率表格：
| | `A` 是无害陷阱 | `A` 是有害陷阱 |
| -----------: | -----------: | -----------: |
| **`B` 是无害陷阱** | $36\%$ | $24\%$ |
| **`B` 是有害陷阱** | $24\%$ | $16\%$ |
当 $k=3$ 时，会有 $8$ 种不同的陷阱状态组合，如果我们依然坚持使用概率表格，那么这个表格将会是三维的（$2\times 2 \times 2$，每一维对应着一类陷阱）。当 $k\ge 3$ 时，这将使得题目难以描述。因此我们使用一个大小为 $2^{k}$ 的数组 $p$ 来描述每种情况发生的可能性，$p$ 的下标范围为 $0\sim 2^{k}-1$。
$p$ 是这样生成的：
对于每个可能的陷阱状态组合，考虑所有 $k$ 类陷阱，令 $1$ 表示某个陷阱有害，$0$ 表示某个陷阱无害，把 `A` 作为二进制数的第 $0$ 位（从右边开始计数），`B` 作为第 $1$ 位，`C` 作为第 $2$ 位……通过以上操作，我们可以得到一个 $k$ 位的二进制数，把它转化成十进制后，$2^{k}$ 种陷阱状态的组合将会与整数 $0\sim2^{k}-1$ 一一对应。
设 $S = \displaystyle\sum_{i=0}^{2^k-1} p_i$，则陷阱状态组合 $i$ 出现的概率为 $\dfrac {p_{i}} {S}$。
上述表格对应的一个合法数组 $p$ 为 $36,24,24,16$。
当然同一个概率表格可能会对应多个数组 $p$（事实上有无数个数组 $p$ 能够迎合表格数据），例如上述表格同时也对应着下面的数组 $p$：$72,48,48,32$。
玩家控制的人物初始情况下有 $H$ 点生命，当人物踏上某个陷阱时，如果这个陷阱是有害的，那么会损失 $1$ 点生命，否则这个陷阱是无害的，不损失生命。无论上述哪种情况发生，玩家会立刻得到这个陷阱的信息（有害或无害）。一旦生命小于等于 $0$，玩家控制的人物会立刻死亡。
迷宫可以看作 $m\times n$ 的方格地图，每个元素可能是：
- `.`：表示这是平地，可以通过；
- `#`：表示这是墙，不能通过；
- `A`，`B` ，`C`……：表示这是一个陷阱；
- `$`：表示这是起点，地图中有且仅有一个；
- `@`：表示这是终点，地图中可以有多个，也可以一个也没有。
人物可以向上下左右四个方向行走，不可以走对角线，也不可以走出地图。
给定 $m\times n$的地图、$k$、$h$ 以及大小为 $2^{k}$ 的概率数组。你的任务是求出在执行最优策略时，人物能活着走出迷宫的概率。
## 输入格式
第一行包含 $4$ 个整数，分别表示 $m,n,k,H$；
下面 $m$ 行每行 $n$ 个字符描述迷宫地图；
最后一行包含 $2^{k}$ 个非负整数描述数组 $p$，数组下标从 $0$ 开始。
## 输出格式
仅包含一个数字，表示在执行最优策略时，人物活着走出迷宫的概率。四舍五入保留3位小数。
## 提示
$m\leq 30,n\leq 29,k\leq 5,H\leq 5,0\leq p_i\leq 10^5$ ，且至少有一个 $p_i\gt0$
## 【样例说明 1】
向右边走，经过 `B` ，`B` 为有害陷阱的概率为 $\frac {(20+20)}{(30+30+20+20)}=0.4$，若 `B` 为有害陷阱那么人物就死掉了，游戏失败，否则玩家得知 `B` 是无害陷阱，继续经过另一个 `B` 达到终点，胜利的概率为 $0.6$。
## 【样例说明 2】
向左边走，经过 `A`，`A` 为有害陷阱的概率为 $\frac {(30+30)} {(30+30+20+20)}=0.5$。若 `A` 为有害陷阱，那么损失一点生命，转到右边尝试 `B` ，要想成功到达终点，此时 `B` 必须为无害陷阱，而在 `A`是有害陷阱的前提下，`B` 是无害陷阱的概率是 $\frac {30}{(30+20)}=0.6$，故这种情况发生的概率为 $0.5\times 0.6=0.3$。若 `A`是无害陷阱，玩家可以控制人物连续通过两个 `A` 到达终点，这种情况发生的概率 $0.5$。所以答案为 $0.3+0.5=0.8$。
## 【样例说明 3】
玩家控制的人物有 $3$ 点生命，但最多只需要经过两个陷阱，所以任意选左路
或右路走过去就可以到达终点了。by feicheng @ 2021-09-12 15:23:41
@SSerxhs
by _Veritas @ 2021-09-12 15:38:45
Wow.
by SSerxhs @ 2021-09-13 10:20:59
@飞丞 fixed。缺少每组数据的说明
by feicheng @ 2021-09-13 11:03:24
@SSerxhs
|测试点编号 | $m$ | $n$ | $k$ | $H$ |
| -----------: | -----------: | -----------: | -----------: | -----------: |
| $1$ | $29$ | $28$ | $5$ | $1$ |
| $2$ | $28$ | $20$ | $4$ | $1$ |
| $3$ | $25$ | $30$ | $1$ | $1$ |
| $4$ | $25$ | $30$ | $1$ | $2$ |
| $5$ | $25$ | $30$ | $1$ | $3$ |
| $6$ | $5$ | $5$ | $4$ | $4$ |
| $7$ | $12$ | $11$ | $4$ | $5$ |
| $8$ | $19$ | $17$ | $5$ | $3$ |
| $9$ | $23$ | $25$ | $5$ | $4$ |
| $10$ | $30$ | $29$ | $5$ | $5$ |
by feicheng @ 2021-09-13 11:07:11
@SSerxhs 另外，根据表格来说，
by SSerxhs @ 2021-09-13 11:28:23
@飞丞 fixed
注意范围一般写法如下
对于 $100\%$ 的数据，$1\le m\leq 30$，$1\le n\leq 29$，$k\leq 5$，$H\leq 5$，$0\leq p_i\leq 10^5$，且至少有一个 $p_i\gt0$ 。by feicheng @ 2021-09-13 11:51:25
@SSerxhs ok