cu ball
by cqbzpyl @ 2024-09-20 19:17:30
@[fanjunchao](/user/1310441)
我找到的[1](https://cspguide.youdao.com/?knowledgeId=95&id=17934)和[2](https://cspguide.youdao.com/?knowledgeId=96&id=17934)
by dawoli @ 2024-09-20 19:18:15
多重集合排列公式：
$$
C^{N + K - 1}_{N}
$$
by 落木之樱meow @ 2024-09-20 19:18:27
cu ball
by renzhanwen @ 2024-09-20 19:18:28
@[fanjunchao](/user/1310441)
RP++
by dawoli @ 2024-09-20 19:18:30
排列组合——捆绑法
要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并
为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。
1、5 个男生 3 个女生排成一排，3 个女生要排在一起，请问有多少种不同的排法
因为女生要排在一起，所以可以将 3 个女生看成是一个人，与 5 个男生作全排列，有?
66排
法。排法其中女生内部也有?3
3种排法,根据乘法原理，共有?6
6 × ?3
3种不同的排法
2、A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 A,B 必须相邻且 B 在的 A 右边，则不同的排法有
（ ）
A、60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种
•解析：把 A,B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列?
4
4
=24 种，
答案：D
3、5 个小朋友并排站成一列，其中有两个小朋友是双胞胎，如果要求这两个双胞胎必须相
邻，则有（ ）种不同排列方法?
A、48 B、36 C、24 D、72
•解析：把双胞胎视为一人，相当于 4 人的全排列?
4
4
=24 种，双胞胎内有排列?2
2=2 种，最
终答案为 48，选择 A
排列组合练习题——插空法
1、七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种
•解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为?5
5 种，再用甲乙去插 6 个空位有?6
2种，不同的排法
种数是?5
5 × ?6
2种，选 B
2、学校师生合影，共 8 个学生，4 个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有
多少种不同的合影方式？
•解析：先排学生共有?8
8 种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有 7 个空档可插，选
其中的 4 个空档，共有?7
4种选法。根据乘法原理,共有的不同坐法为?8
8 × ?7
4种
3、马路上有编号为 1，2，3，…，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二
盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
•解析：把此问题当作一个排队模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 ?53种方
法,所以满足条件的关灯方案有 10 种.
4、已知集合 A={1,2,3,...,20}，集合 B={a1,a2,a3,a4}，且 ? ⊂ ?，
•若 |ai-aj|≠1{i,j=1,2,3,4} ，则满足条件的集合 B 有多少个？
•解析：易知 a1,a2,a3,a4 互不相等且不相邻，则有?
17
4
=
2380
排列组合练习题——隔板法
1、10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
•解析：10 个名额分到 7 个班级，就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆，每堆
至少一个，可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板，每一种插法对应着一种分配方
案，故共有不同的分配方案为?96 = 84种.
2、方程?1 + ?2 + ⋯ + ?? = ?的正整数解有多少个？有多少个非负整数解？其中 k,n∈N*,k
≥n
•解析：
1、求正整数解，相当于 xi >= 1 时，问题可以转化为：把 k 个球分成 n 组，每组至少 1 个
球，答案为??−1
?−1
2、求非负整数解：相当于 xi>=0 时，
问题向（1）转化：令 yi=xi+1，则有 yi>=1，满足 y1+y2+…+yn=k+n
因此答案为??+?−1
?−1
3、将 20 个完全相同的球放入编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子中。
（1）若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？
（2）若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？
（3）若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？
•解析：
1、20 个球有 19 个空，相当于在 19 个空中插入 4 个板子，答案为?
19
4
=
3876
•解析：
2、5 个盒子可能有空的情况，那么可以创建 5 个虚拟球，那么此时所有盒子都不能存在为
空的情况，25 个球有 24 个空，相当于 24 个空中插入 4 个板子，答案为?
24
4
=
10626
•解析：
3、•先在编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子中依次放入 0,1,2,3,4 个球，再只要保证余下的
10 个球每个盒子至少放一个，则?94 = 126
•或者将问题用方程转化：令 y1=x1,y2=x2-1,y3=x3-2,y4=x4-3,y5=x5-4
有 yi>=1，则满足：y1+y2+…+y5=20-10
所以答案为：?94 = 126
排列组合练习题——排数问题
1、由数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ）
•解析：
由题意得，可分两步进行求解：第一步，先对末位排序，第二步再对前四位排序，根据分步
计数原理，可求得结果。
根据题意末位一定是偶数，即 2、4 之中的一个，有两种排法，前面四位计算全排列即 24 种
排法，最终答案为 48
2、由 0，1，2，…，9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差
的绝对值等于 8 的有
•解析：
由个位数字与百位数字之差的绝对值等于 8，即可将个位、百位分为 0,8 或 1,9 两种情况讨
论，分别求出构成四位数的个数，加和即可。
1、当个位与百位数字为 0，8 时，有?8
2 × ?2
2个；
2、当个位与百位为 1，9 时，有?7
1 × ?7
1 × ?2
2个，
•∴共?7
1 × ?7
1 × ?2
2 + ?8
2 × ?2
2
=
210 (个)．
3、设集合 A={0,2,4}，B={1,3,6}，现分别从 A、B 中任取 2 个元素组成无重复数字的四位
数，其中不能被 5 整除的数共有（ ）
•解析：
对四位数是否含 0 进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可求得结果.
若四位数字含 0，则 0 只能放在十位或百位数上，符合条件的四位数的个数为 ?21 × ?32 ×
?21 × ?3
3
=
72个；
若四位数字不含 0，则符合条件的四位数的个数为?22 × ?32 × ?
4
4
=
72。综上所述，符合条件
的四位数的个数为 72+72=144.
排列组合练习题——杂项问题
1、A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边（可以不相邻）那么不同的排
法有（ ）
A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、120 种
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法
•解析：
B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半，即1
2
× ?5
5
=
60 种，选 B
排列组合练习题——剩余法
1、袋中有不同年份生产的 5 分硬币 23 个,不同年份生产的 1 角硬币 10 个如果从袋中取出
2 元钱有多少种取法?（ ）
剩余法：在组合问题中，有多少取法，就有多少种剩法，他们是一一对应的，因此，当求取
法困难时，可转化为剩余法
此题直接考虑取钱的问题情况较多也较乱，但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话，就
会很容易解决问题
把所有的硬币全部取出来，将得到 0.05x23+0.10x10=2.15 元比 2 元多 0.15 元，所以剩下
0.15 元即剩下 3 个 5 分或 1 个 5 分与 1 个 1 角，所以取法共有
?
233 + ?
231 × ?
10
1
排列组合练习题——对等法
1、学校安排考试科目 9 门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序？（ ）
对等法：在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的各占全体的二分之一。
分析对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，
并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的因此要求其中的某一种情况，能够得到全体，
那么问题就可以解决了并且也避免了问题的复杂性。
不加任何限制条件,整个排法有?9
9种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之
前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有1
2
× ?9
9
排列组合练习题——排异法
1、某个班级共有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法
有多少种?（ ）
排异法：有些问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反
面，再从整体中排除。
分析此题若是直接去考虑的话，就要将问题分成好几种情况，这样解题的话，容易造成各种
情况遗漏或者重复的情况。而如果从此问题相反的方面去考虑的话，不但容易理解，而且在
计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程
43 人中任抽 5 人的方法有?
435 种，正副班长、团支部书记都不在内的抽法有?
405 种，所以正
副班长、团支部书记至少有 1 人在内的抽法有?
43
5 − ?
405 种
by ssdhnd @ 2024-09-20 19:19:55
抱歉上面是组合。
多重集合排列公式：
$$
\frac{N!}{N_1!N_2! \dots N_n!}
$$
by 落木之樱meow @ 2024-09-20 19:20:13
@[ssdhnd](/user/1406173) 谢谢
by fanjunchao @ 2024-09-20 20:01:34
@[落木之樱meow](/user/356117) 谢谢
by fanjunchao @ 2024-09-20 20:02:12